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Estructura boreliana de grupos de homeomorfismos de espacios métricos y numerables

Resumen

En los últimos años ha recibido atención la interacción de la teoría de grupos topológicos con la Teoría Descriptiva de Conjuntos. Uno de los resultados más interesantes que surgieron de esta conexión es la continuidad automática de homomorfismos. Existen grupos en donde la estructura topológica y algebraica se combinan de forma perfecta, pues admiten una única topología de grupo polaco. Por ejemplo, Kechris y Rosendal demostraron que existe una única topología de grupo topológico no trivial y separable para el grupo de biyecciones de N en N, denotado por S∞, lo que implica que este grupo posee una única topología de grupo polaco. En contraste, existen grupos que no admiten topología de grupo polaco. Por ejemplo, Christian Rosendal demostró que no existe topología de grupo polaco para el grupo de autohomeomorfismos de Q. Este trabajo está estrechamente relacionado con la existencia de topologías de grupo polaco que cumplan ciertas características deseables. En particular, estudiamos con detalle la estructura boreliana de grupos de homeomorfismos de espacios métricos y numerables (cuándo estos grupos son polacos y, cuando no son polacos, cuándo se pueden “polonizar” sin modificar sus conjuntos borelianos).