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Sobre la propiedad de midy

Resumen

Sean p un número primo y e el orden de 10 módulo p, es decir, e = ordp(10). Es sabido que la fracción 1/p es periódica con periodo de longitud e. E. Midy demostró que si 1/p tiene periodo de longitud par e = 2k, para algún entero positivo k, y 1/p = 0.a1a2 · · · ae, donde cada ai es un dígito, entonces ai+ak+i = 9 para i = 1, 2, . . . , k. En otras palabras, si el periodo se divide en dos mitades, su suma es igual a 10k − 1, una cadena de k nueves. Este resultado se conoce como el Teorema de Midy. En este trabajo, el interés principal es el problema general que se desprende del Teorema de Midy. Dados los enteros n y una base numérica B > 1 con n y B primos relativos, la fracción x/n, donde x ∈ Un, es periódica en la escala de B con periodo de longitud e = ordn(B). Si e = dk, para algún par de enteros d > 1 y k, el periodo puede dividirse en d bloques cada uno de k dígitos. Si la suma de estos bloques es un múltiplo de Bk −1 para cada elemento x ∈ Un, se dirá que n tiene la propiedad de Midy para el divisor d de e y la base B, y se escribirá esto por n ∈ Md(B).