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Topologías débiles y el teorema de Eberlein-Smulian

Resumen

El contenido de este trabajo se centra principalmente en el estudio de las topolog´ıas d´ebiles en espacios lineales normados y en el teorema de Eberlein-Smulian, uno de ˇ los resultados m´as importantes que se obtienen de estas topolog´ıas. Inicialmente se har´a un estudio de algunos conceptos b´asicos de an´alisis funcional y topolog´ıa que ser´an de ayuda y utilidad para la total comprensi´on y desarrollo de este trabajo, en dicho estudio est´an incluidos algunos resultados cl´asicos como el teorema de separaci´on de Hahn-Banach, el teorema de Banach-Steinhaus y la relaci´on que hay entre las tres clases diferentes de compacidad en espacios m´etricos. En el segundo cap´ıtulo, se har´a un amplio y detallado estudio de las topolog´ıas d´ebil y d´ebil∗ , se mostrar´an teoremas importantes del an´alisis funcional como el teorema de Goldstine y el teorema de Banach-Alaoglu, se introducir´an nuevas definiciones como convergencia d´ebil, convergencia d´ebil∗ y compacidad d´ebil, se mostrar´an ejemplos de la convergencia y compacidad d´ebil en algunos espacios conocidos del an´alisis funcional como los espacios lp, c0 y Lp[a, b]. Por ´ultimo, en el tercer cap´ıtulo se har´a un estudio del teorema de Eberlein-Smulian el cual es el centro de ˇ estudio de este trabajo, en dicho estudio se har´a uso de toda la informaci´on desarrollada en el cap´ıtulo dos. Adem´as, veremos algunas aplicaciones de la teor´ıa vista en algunos teoremas con operadores d´ebilmente compactos.