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El semigrupo inverso simétrico, el teorema de Pettis y la continuidad automática

Resumen

En el primer capítulo se presentan los preliminares que precisarán y organizarán los elementos básicos de la investigación. En el segundo capítulo presentamos el concepto de semigrupo polaco mostrando y estudiando tres ejemplos: NN, S∞ y I(N), donde el semigrupo inverso simétrico y su topología son el centro fundamental para este trabajo. Estudiamos también un teorema que caracteriza a los semigrupos topológicos T0 que son topológicamente isomorfos a los subsemigrupos de NN (ver Teorema 2.1.6). El tercer capítulo es el más importante del trabajo. Tiene como objetivo generalizar el teorema de Pettis para semigrupos polacos. Con esto en mente, recordamos la demostración del teorema de Pettis, resultado que se usa para demostrar la continuidad automática en grupos polacos. Finalmente hemos introducido una nueva propiedad para semigrupos polacos, la cual hemos llamado propiedad de Pettis (ver 3.3). Mostramos ejemplos de semigrupos que tienen la propiedad y otros que no. Más específicamente, mostramos que I(N) no tiene la propiedad de Pettis, sin embargo contiene el siguiente semigrupo inverso polaco que si la tiene: Sea {Bi}i∈N una colección de subconjuntos infinitos de N disjuntos dos a dos. Entonces el conjunto S = S∞ i=1 S∞(Bi)∪{1∅} es un semigrupo inverso polaco que tiene la propiedad de Pettis. Al final del tercer capítulo enunciamos algunas preguntas que surgieron naturalmente durante el desarrollo del trabajo y que consideramos interesantes.