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Una introducción a la ecuación de Schrodinger

Resumen

La ecuación de Schr¨odinger, tanto lineal como no lineal, es uno de los modelos de Ecuaciones Diferenciales Parciales de mayor relevancia en la Física Matemática, no solo por el análisis matemático que involucra su estudio y el número de problemas abiertos que aún persisten, sino que también, por la cantidad de aplicaciones que posee. El presente trabajo tiene como objetivo presentar algunas nociones históricas de la Mecánica Cuántica, que dieron origen a la ecuación de Schr¨odinger lineal, comentando las ideas que llevaron a plantear la cuantización de la energía y la luz descritas por Planck y Einstein respectivamente, siendo estas, de gran importancia en el desarrollo de la ecuación de Schr¨odinger (lineal). Así mismo, se presenta algunas ideas físicas (desde el punto de vista de la óptica no lineal) que justifican el modelo de Schr¨odinger no lineal. Desde el punto de vista matemático, en primer lugar se analiza la existencia de solución al problema lineal, de la ecuación de Schr¨odinger vía Análisis de Fourier. Finalmente, se prueba un resultado de existencia y unicidad de la solución en L 2 (R n), para el caso subcrítico, al problema no lineal, con no linealidad de la forma |u| α−1u, α > 1, basadas en el Principio de las contracciones de Banach.