Grupos de isometrias de poligonos y poliedros regulares

Abstract

Durante la planeación del trabajo, se vio la importancia de estudiar ciertosgrupos de simetrías muy populares, estos son los grupos de isometrías depolígonos y poliedros regulares. El estudio, desde el punto de vista de la teoría de grupos, de estos objetosgeométricos relativamente familiares, revela una dimensión lúdica y dinámica de gran interés, pues se enlazan conceptos combinatorios, geométricos yestructurales. En cuanto la matemática, se basó especialmente en el manejode herramientas conceptuales de tres áreas: álgebra lineal, geometría euclidiana y álgebra moderna. La presentación de cada isometría se hizo comopermutación finita de vértices y en forma matricial. Para esto último, fuenecesario encontrar los vértices de cada polígono y poliedro en coordenadosespaciales y determinando propiedades matriciales calcular los coeficientescorrespondientes. Para los cálculos y la realización de los gráficos, se utilizó elprograma Scilab que es de libre uso y el maple incorporado en ScientificWorkPlace. El primer capítulo contiene conceptos necesarios, los cuales se exponen buscando fundamentalmente fijar conceptos y notación. El segundo capítulo presenta el grupo Diédrico (D,,) de isometrías de los polígonos, la descripción desus subgrupos, los grupos normales y cocientes. El tercer y último capítuloexpone un resultado clásico de los griegos: sólo existen cinco poliedros regulares. Después de esto, se presentan los tres grupos de simetrías con ladescripción de sus elementos y algunos subgrupos. Por último, se pretendíamostrar el grupo de isometrías del Omnipoliedro, pero se deja como tareapara lectores interesados. Los Scripts realizados en Scilab para la obtenciónde los grupos con su respectiva tabla, se presentan en los anexos, junto conlas matrices que conforman el grupo del dodecaedro.