Sobre la estructura de los cuerpos finitos

Abstract

En las últimas décadas, la teoría de los cuerpos finitos ha sido de gran interés por sus aplicaciones a la teoría de códigos y criptografía. Los enteros módulo $p$, siendo $p$ un primo, son los primeros ejemplos de cuerpos finitos que surgen cuya teoría fue en gran parte desarrollada en los siglos XVII y XVIII. En general, los cuerpos finitos poseen diversas propiedades algebraicas que los hace un objeto de estudio de gran importancia. Este trabajo consiste en un estudio teórico de las propiedades estructurales de los cuerpos finitos y su aplicación a la teoría de códigos. En el primer capítulo, recordaremos algunos conceptos y resultados del álgebra abstracta que usaremos a lo largo del desarrollo del escrito. En el capítulo siguiente presentaremos algunas propiedades que caracterizan a los cuerpos finitos, entre ellas su cardinalidad, la estructura cíclica de su grupo multiplicativo y la relación entre sus subcuerpos. Estudiaremos el comportamiento de los polinomios irreducibles sobre dichos cuerpos y caracterizaremos las transformaciones lineales y bases de los cuerpos finitos vistos como un espacio vectorial sobre algún subcuerpo. Para finalizar, en el último capítulo explicaremos en detalle como construir códigos cíclicos minimales de longitud $n$ sobre cuerpos finitos usando idempotentes en álgebras de grupo, tomando como referencia el trabajo de Raul Ferraz y César Polcino.