Sobre la estructura de los cuerpos finitos

Pérez Niño, Natalia Isabel

Sobre la estructura de los cuerpos finitos

dc.contributor.advisor	Pinedo Tapia, Héctor Edonis
dc.contributor.author	Pérez Niño, Natalia Isabel
dc.contributor.evaluator	Olaya León, Wilson
dc.contributor.evaluator	Holguín Villa, Alexander
dc.date.accessioned	2023-03-17T16:45:43Z
dc.date.available	2023-03-17T16:45:43Z
dc.date.created	2023-03-10
dc.date.issued	2023-03-10
dc.description.abstract	En las últimas décadas, la teoría de los cuerpos finitos ha sido de gran interés por sus aplicaciones a la teoría de códigos y criptografía. Los enteros módulo $p$, siendo $p$ un primo, son los primeros ejemplos de cuerpos finitos que surgen cuya teoría fue en gran parte desarrollada en los siglos XVII y XVIII. En general, los cuerpos finitos poseen diversas propiedades algebraicas que los hace un objeto de estudio de gran importancia. Este trabajo consiste en un estudio teórico de las propiedades estructurales de los cuerpos finitos y su aplicación a la teoría de códigos. En el primer capítulo, recordaremos algunos conceptos y resultados del álgebra abstracta que usaremos a lo largo del desarrollo del escrito. En el capítulo siguiente presentaremos algunas propiedades que caracterizan a los cuerpos finitos, entre ellas su cardinalidad, la estructura cíclica de su grupo multiplicativo y la relación entre sus subcuerpos. Estudiaremos el comportamiento de los polinomios irreducibles sobre dichos cuerpos y caracterizaremos las transformaciones lineales y bases de los cuerpos finitos vistos como un espacio vectorial sobre algún subcuerpo. Para finalizar, en el último capítulo explicaremos en detalle como construir códigos cíclicos minimales de longitud $n$ sobre cuerpos finitos usando idempotentes en álgebras de grupo, tomando como referencia el trabajo de Raul Ferraz y César Polcino.
dc.description.abstractenglish	In recent decades, the theory of finite fields has been of great interest because of their applications to coding theory and cryptography. The integers modulo $ p $, being $ p $ a prime, are the first examples of finite fields that arise whose theory was largely developed in the seventeenth and eighteenth centuries. In general, finite fields have various algebraic properties that make them an object of study of great importance. This work consists of a theoretical study of the structural properties of finite fields and their application to coding theory. In the first chapter, we will remember some concepts and results of the abstract algebra that we will use throughout the text. In the next chapter we will present some properties that characterize the finite fields, including their cardinality, the cyclical structure of its multiplicative group and the relationship between its subfields. We will study the behavior of irreducible polynomials on these fields and characterize the linear transformations and bases of the finite fields seen as a vector space on some subfield. Finally, in the last chapter we will explain in detail how to build minimal cyclical codes of length $n$ on finite fields using idempotents in group algebras, taking as reference the work of Raul Ferraz and César Polcino.
dc.description.degreelevel	Pregrado
dc.description.degreename	Matemático
dc.format.mimetype	application/pdf
dc.identifier.instname	Universidad Industrial de Santander
dc.identifier.reponame	Universidad Industrial de Santander
dc.identifier.repourl	https://noesis.uis.edu.co
dc.identifier.uri	https://noesis.uis.edu.co/handle/20.500.14071/12635
dc.language.iso	spa
dc.publisher	Universidad Industrial de Santander
dc.publisher.faculty	Facultad de Ciencias
dc.publisher.program	Matemáticas
dc.publisher.school	Escuela de Matemáticas
dc.rights	info:eu-repo/semantics/openAccess
dc.rights.accessrights	info:eu-repo/semantics/openAccess
dc.rights.coar	http://purl.org/coar/access_right/c_abf2
dc.rights.creativecommons	Atribución-NoComercial-SinDerivadas 4.0 Internacional (CC BY-NC-ND 4.0)
dc.rights.license	Attribution-NonCommercial 4.0 International (CC BY-NC 4.0)
dc.rights.uri	http://creativecommons.org/licenses/by-nc-nd/4.0/
dc.subject	Cuerpos finitos
dc.subject	Polinomios irreducibles
dc.subject	Transformaciones lineales
dc.subject	Álgebras de grupo
dc.subject	Teoría de Códigos
dc.subject.keyword	Finite fields
dc.subject.keyword	Irreducible polynomials
dc.subject.keyword	Linear transformations
dc.subject.keyword	Group algebras
dc.subject.keyword	Coding theory
dc.title	Sobre la estructura de los cuerpos finitos
dc.title.english	On structure of finite fields
dc.type.coar	http://purl.org/coar/resource_type/c_7a1f
dc.type.hasversion	http://purl.org/coar/version/c_b1a7d7d4d402bcce
dc.type.local	Tesis/Trabajo de grado - Monografía - Pregrado
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