Espacios de banach de funciones continuas y algebras de banach

Abstract

El contenido de este trabajo se basa principalmente en mostrar algunas técnicas fundamentales de la teoría de espacios de Banach de funciones continuas y de la teoría de las álgebras de Banach vistas en [2] para obtener un criterio que verifique si un álgebra de Banach A es un espacio C (K) y un método para saber cuándo un espacio C (K) es un espacio isométricamente inyectivo. El presente trabajo lo hemos organizado de la siguiente manera. En el primer capítulo, se inicia dando un resumen sobre las principales definiciones y resultados relacionados a los espacios de Banach que serán utilizados en el desarrollo del trabajo incluyendo teoremas de Hahn-Banach, Banach-Steinhaus, Krein-Milman y Alaoglu. Luego se presentan algunos conceptos relativos a los conjuntos parcialmente ordenados junto con el Lema de Zorn. El capítulo termina definiendo las álgebras y subálgebras y con ello se destaca un gran resultado de Stone-Weierstrass. En el segundo capítulo presentamos algunas propiedades de las álgebras de Banach y de los homomorfismos definidos sobre álgebras de Banach y demostramos que un álgebra de Banach real conmutativa A con identidad, es isométricamente isomorfa a un espacio C (K) para algún espacio Hausdorff compacto K si se satisface una desigualdad con la norma respecto a A. Este hecho fue probado por Albiac y Kalton y da por lo tanto un criterio para verificar si un álgebra de Banach real es un espacio C (K). Finalmente, en el tercer capítulo presentamos algunos resultados relacionados con las aplicaciones sublineales y el orden-completo en espacios C (K) y demostramos que si K es un espacio de Hausdorff compacto, una condición necesaria y suficiente para que el espacio de Banach C (K) sea un espacio isométricamente inyectivo, es que el espacio C (K) tenga un orden completo, el cual es un resultado conocido como el Teorema de Goodner-Nachbin.