Estudio de la propiedad de Lebesgue

Abstract

El teorema de Lebesgue establece que para las funciones con valores reales definidas en [a,b], ser acotada y continua a.e respecto a la medida de Lebesgue es equivalente a ser Riemann-integrable. Sin embargo, para el caso general de las funciones con valores en un espacio de Banach infinito dimensional no siempre se cumple esto. Si un espacio de Banach X satisface la condición que cada función Riemann-integrable de [0,1] en X es continua a.e, se dice que X tiene la propiedad de Lebesgue (PL). El principal problema a estudiar es encontrar condiciones suficientes y necesarias para que un espacio de Banach tenga la PL. Este trabajo presenta de forma autocontenida el desarrollo de esta teoría, entrando en detalle con cada prueba, partiendo de los conceptos preliminares en el primer capítulo junto con ejemplos de espacios que tienen la PL y características de la PL; en el segundo capítulo se muestra una solución al problema principal; finalmente, en el tercer capítulo se analiza la relación entre el espacio de los operadores de Darboux y otros espacios de operadores más usuales como los compactos y débilmente compactos. El principal aporte en este trabajo de investigación se encuentra en este último capítulo donde presentamos las demostraciones de algunos resultados interesantes sobre la teoría de los operadores de Darboux.