Identidades de grupo en unidades y unidades simétricas sobre anillos de grupo

Abstract

Motivado por encontrar una conexión entre la estructura aditiva y multiplicativa del álgebra de grupo F G, Brian Hartley conjeturó que si el grupo de unidades verifica una identidad de grupo entonces el álgebra de grupo verifica una identidad polinomial. Considerando F G el álgebra de grupo del grupo de torsión G sobre un cuerpo infinito F, Giambruno, Sehgal y Valenti en [12] confirman la conjetura. En el presente texto se encuentra detalladamente está respuesta (ver Teorema 2.1.1). Además, si F G es un álgebra de grupo con involución ∗ inducida por la aplicación g 7→ g −1 (la involución clásica), se plantea una versión de la Conjetura en términos de las unidades simétricas [13, Teorema 6], cuyo objeto era verificar que si U +(F G) ∈ IG implica que U(F G) ∈ IG ó directamente que F G ∈ IP. En el tercer capítulo, primero presentamos ciertos resultados donde F G es un anillo con involución clásica y U +(F G) ∈ IG, y luego se tiene en detalle la respuesta a la Conjetura de Hartley para las unidades simétricas.