Una introducción a las ecuaciones diferenciales en derivadas parciales de tipo parabólico

Abstract

Un ejemplo de ecuación diferencial parcial de tipo parabólico es la ecuación del calor, estemodelo describe la evolución de la temperatura en un cuerpo sólido, como por ejemplo en unaarra metálica de longitud uno. Inicialmente se calienta a una temperatura u(x,to) a partirdel instante ty la temperatura evoluciona libremente. La solución de este modelo predice laemperatura u(x,t) en el punto z en el instante t, para x € [0,1] y t > to. Para determinar la unicidad de ciertos problemas, relacionados con el modelo descrito anteriormente se recurre al método de la energía, y al principio del máximo, este último establece que si la temperatura en la frontera y en el momento inicial no supera cierto valor M y no 1ay fuentes del calor dentro del cuerpo, la temperatura del cuerpo será menor o igual a Maravés del tiempo.La técnica de la energía, además de utilizarse para el caso en que la varilla sea finita, también puede utilizarse cuando la varilla es infinita. Para obtener la solución de los problemas se usan varios métodos, como el método de Fouriero separación de variables, transformada de Fourier y transformada de Laplace, cuya solución de algunos modelos depende continuamente de los datos iniciales.