Topologías primales
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Date
2025-02-05
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Publisher
Universidad Industrial de Santander
Abstract
El objetivo principal de esta tesis es estudiar las topologías primales. Un espacio topológico (X,τ) es primal, si existe una función f:X→X tal que los conjuntos τ-cerrados son aquellos A ⊆ X tales que f(A) ⊆ A. Cabe resaltar que dicha función no es necesariamente única. Un aspecto fundamental de estos espacios es que toda topología primal es de Alexandroff, lo que motivó el estudio preliminar de estas topologías.
Un espacio topológico es de Alexandroff, si la intersección arbitraria de conjuntos abiertos es abierta. Una caracterización fundamental de estos espacios establece que, (X,τ) es de Alexandroff si y solo si cada punto de X tiene una vecindad minimal. Además, a cada espacio de Alexandroff (X,τ) se le asocia un cuasi-orden ≲τ, conocido como el cuasi-orden de especialización, definido por la relación: sean x, y ∈ X, x ≲τ y si y solo si x ∈ cl{y}.
En esta tesis, estudiamos dos caracterizaciones de las topologías primales. La primera está basada en el cuasi-orden de especialización, mientras que la segunda utiliza las vecindades minimales. Aunque fueron planteadas de manera independiente por distintos autores, ambas caracterizaciones resultan ser equivalentes.
Por último, estudiamos el producto de espacios primales, ya que, en general, no conserva la propiedad de ser primal. Presentamos un teorema que establece las condiciones bajo las cuales el producto arbitrario de topologías primales es primal y otro que aborda específicamente el caso finito.
Description
Keywords
Topología Alexandroff, Cuasi-orden de especialización, Topología primal, Producto de topologías primales