Matemáticas
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Browsing Matemáticas by browse.metadata.advisor "Isaacs Giraldo, Rafael Fernando"
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Item Aplicación del método "back and forth" de teoría de modelos a órdenes lineales y al grafo universal(Universidad Industrial de Santander, 2022-04-01) Barajas Rincón, Rosa Ximena; Isaacs Giraldo, Rafael Fernando; Holguín Villa, Alexander; Uzcátegui Aylwin, Carlos EnriqueDadas dos estructuras relaciones $(A,R)$ y $(B,S)$, isomorfas, el método \textit{"back and forth"}, de la teoría de modelos, nos permite construir una colección de isomorfismos parciales entre las dos estructuras, de tal manera que la unión de todos los isomorfismos de esa colección nos genera un ismorfismo total entre dichas estructuras. El método consiste en tomar subconjuntos finitos. $U_i \subseteq A$ y $V_i \subseteq V$, $i \in \mathbb{N}$, y crear correspondecias $f_i$, isomorfas entre $U_i$ y $V_i$, es decir, funciones biyectivas que además preserven orden, esto es, $x_i \preceq y_i \Leftrightarrow f(x_i) \preceq f(y_i)$. Iniciaremos presentando los conceptos y propiedades más relevantes sobre estructuras relacionales y órdenes en general, como el concepto de isomorfismo, que será ensencial al estudiar algunos resultados y propiedades entre órdenes lineales y grafos aleatorios no dirigidos. Luego, presentaremos la noción de lo que es la clase de los tipos de orden, las respectivas caracterizaciones de $\mathbb{N}$, $\mathbb{Z}$ y $\mathbb{Q}$, en que consiste el método \textit{"back and forth"} y su aplicación a los teoremas de Cantor; se mostrará por ejemplo que cualesquier dos órdenes lineales densos contables sin primeros ni últimos elementos son isomorfos haciendo uso del \textit{"back and forth"}, y para finalizar presentaremos el concepto de grafos aleatorios no dirigidos junto con la propiedad de extensión, muy crucial en esta parte, y el maravilloso grafo universal $\mathfrak{R}$; aquí describimos construcciones de $\mathfrak{R}$ y mostramos que cualesquier dos grafos contables infinitos no dirigidos son isomorfos, haciendo uso del \textit{"back and forth"}.Item Lenguajes formales y atractores de SIF(Universidad Industrial de Santander, 2022-04-08) Celis Mantilla, Luis Fernando; Isaacs Giraldo, Rafael Fernando; Camargo García, Javier Enrique; Olaya León, WilsonLos sistemas iterados de funciones (SIF) son el método clásico para generar fractales y para cada atractor de un SIF le corresponde un espacio de códigos asociados que es determinado por su número de funciones. Usando el alfabeto del espacio de códigos asociado se puede emplear la teoría de lenguajes formales para limitar el comportamiento del atractor de un SIF mediante el uso de un autómata finito determinista. En este trabajo de grado, se presenta desde un punto de vista experimental, tomando distintos SIF fijos que son afectados por una variedad de autómatas, cuyos atractores se exponen junto a algunas observaciones; para esto se programó un código que permita graficar dichos atractores y se concluye demostrando que estos atractores siguen viviendo en el espacio H (X).Item Sobre la curva del dragón(Universidad Industrial de Santander, 2020) Gamboa Higuera, Diego Fernando; Isaacs Giraldo, Rafael FernandoEl dragón de Heighway es una curva que cubre el plano. El Twindragon es una baldosa con la que se puede teselar el plano, la cual consiste de dos dragones de Heighway. Se usan sistemas numéricos sobre los números complejos para construir estos objetos geométricos y demostrar algunas de sus propiedades. En particular, se demuestra que 4 dragones de Heighway forman una configuración de curvas polígonales que no se cruzan a sí mismas que cubren los enteros Gaussianos y que una cantidad numerable de Twindragons cubre el plano complejo de manera que cualesquiera dos de estos conjuntos no se traslapan (sus interiores no se intersectan). Para obtener dichos resultados se demuestra que existen representaciones de todo entero Gaus-siano en los exóticos sistemas numéricos, y se usan interpretaciones geométricas de este hecho para modelar de manera abstracta el proceso de doblar una tira de papel de manera iterativa y luego desplegarla formando ángulos rectos en cada pliegue. Se demuestra que el objeto geométrico que surge de este proceso es justamente el dragón de Heighway. Todos estos hechos son acompañados de imágenes creadas con software computacional que ilustran la geometría de los objetos que se trabajan algebraicamente a lo largo del trabajo.Item Una aproximación al estudio de la sucesión de Thue-Morse(Universidad Industrial de Santander, 2017) Guevara Gomez, Jackson; Isaacs Giraldo, Rafael FernandoLa sucesi´on de Thue Morse fue descubierta en 1851 por Prohuet con el inter´es de aplicarla en la teo´ıa de n´umeros, adem´as durante el siglo XX, es redescubierta por Axel Thue y por Marston Morse, quienes la aplican a la combinatoria de palabras y a la geometr´ıa diferencial respectivamente, sin embargo no son las ´unicas ramas de las matem´aticas en las que esta sucesi´on est´a presente, tambi´en podemos encontrarla en la geometr´ıa fractal, la topologia, el ´algebra, el ajedrez, entre otras. Por esta raz´on se considera ubicua. En este trabajo se presentan algunas de sus definiciones y se demuestran que estas definiciones son equivalentes, seguidamente realizamos el estudio de algunas de las propiedades que se cumplen en la combinatoria de palabras, en la teor´ıa de n´umeros, y revisamos algunos resultados que esta sucesi´on tiene con el ajedrez y la curva de Koch. Por ´ultimo, presentamos las definiciones estudiadas en base 2 de forma generalizada para cualquier base b, realizamos la prueba de sus equivalencias, y observamos cu´ales y de qu´e forma se cumplen las propiedades estudiadas en base 2 para la base b como el hecho de tener; cuadrados arbitrariamente largos, ser libre de sobreposici´on, ser libres de cubos, sumatorias iguales, entre otras. Tambi´en se demuestra que no cumple con algunas de estas propiedades; como el hecho de no tener palabras pal´ındromos. Y existen otras las cuales no se pudieron establecer para base b.