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Item Análisis de la Variabilidad Espacial de las Condiciones de Vida para el Departamento de Santander(Universidad Industrial de Santander, 2024-11-16) Gamez González, Dayanna Lucía; Rivera Flórez, Tulia Esther; Sepúlveda Murillo, Fabio Humberto; Mantilla Duarte, Carlos Alfonso; Gafaro Rojas, Aurora InesLa calidad de vida, según la Organización Mundial de la Salud (OMS), es la percepción de una persona sobre su posición en el contexto cultural y social en el que vive, en relación con sus metas y expectativas. En Colombia, Santander ocupaba en 2018 el sexto lugar en densidad poblacional y obtuvo una calificación de 8,39 en satisfacción general con la vida, según el DANE, superando el promedio nacional. No obstante, los análisis de calidad de vida en la región se enfocan mayormente en Bucaramanga y su área metropolitana, omitiendo otros municipios. Este estudio cuantitativo, de carácter descriptivo y multivariado, analizó la calidad de vida en Santander utilizando dos técnicas: el Análisis de Componentes Principales (PCA) y la distancia P2 de Pena Trapero, con el objetivo de construir índices sintéticos que permitieran comparar el bienestar entre territorios. Ambos métodos mostraron que los municipios del área metropolitana de Bucaramanga presentan mejores condiciones de vida, seguidos de San Gil y Socorro. Sin embargo, el Índice de Calidad de Vida por P2, ofrece una evaluación más estricta y realista de la calidad de vida en la región al tener a Bucaramanga como referencia. El análisis se complementó con el Índice de Moran y los Indicadores Locales de Autocorrelación Espacial (LISA) para un enfoque espacial detallado.Item Estudio de soluciones positivas de ecuaciones diferenciales(Universidad Industrial de Santander, 2024-11-13) Sanchez Badillo, Edward Stivens; Arenas Díaz, Gilberto; Castro Triana, Rafael Antonio; Lopez Rios, Juan CarlosEste trabajo estudia la existencia de soluciones positivas para ecuaciones diferenciales de segundo orden en la semi-recta real positiva, sujetas a condiciones de frontera específicas. Se abordan dos tipos de ecuaciones, una que depende únicamente de la variable independiente y la función incógnita, y otra que también incluye la derivada de la función incógnita. El estudio se desarrolla en el marco de los espacios de Banach, utilizando la norma de Bielecki, que permite establecer condiciones menos restrictivas para el crecimiento de las funciones involucradas. La función de Green juega un papel fundamental, permitiendo representar las soluciones mediante operadores integrales. Para garantizar la existencia de soluciones positivas, se utiliza el teorema de punto fijo de Krasnosel'skii en conos. Este teorema proporciona condiciones suficientes para la existencia de soluciones no triviales dentro de una región específica del espacio de Banach. Además, se presentan ejemplos de aplicación de los resultados obtenidos a ecuaciones diferenciales que surgen en contextos físicos, como la ecuación de p-Gardner, una generalización de la ecuación de Korteweg-de Vries, utilizada en la descripción de ondas no lineales.Item Un análisis comparativo del método de diferencias finitas y el método mimético para la ecuación de convección difusión unidimensional(Universidad Industrial de Santander, 2024-11-08) Rivera Antolinez, Sergio Andrés; Carrillo Escobar, Julio Cesar; Calderón Silva, Giovanni Ernesto; Rueda Gómez, Diego Armando; Arenas Díaz, GilbertoEste trabajo presenta un análisis comparativo entre el método de diferencias finitas (DF) y el método mimético aplicado a la ecuación de convección-difusión unidimensional en régimen estacionario. Los métodos numéricos son fundamentales para resolver ecuaciones diferenciales parciales que surgen en diversas aplicaciones científicas e ingenieriles. A lo largo del documento, se implementan y comparan varios esquemas en diferencias finitas, entre ellos el esquema de diferencias finitas centrales de segundo orden, el esquema Upwind de segundo orden, el esquema QUICK y el esquema θ de segundo orden. Estos se contrastan con el método mimético, que utiliza versiones discretas de operadores diferenciales conservativos. El análisis se enfoca en evaluar la estabilidad, consistencia y convergencia de los esquemas numéricos, observando su comportamiento bajo distintas condiciones de frontera y valores del número de Peclet. Además, se examina la capacidad de estos métodos para manejar problemas de flujo dominado por la convección sin generar oscilaciones numéricas. Los resultados obtenidos muestran las ventajas y limitaciones de cada enfoque, destacando el potencial del método mimético en la resolución de problemas con regímenes complejos.Item Teorema de pascal(Universidad Industrial de Santander, 2024-11-05) Gonzales Duarte, Cristhian Alejandro; Julio Batalla, Jurgen Alfredo; Rodriguez Cardenas, Carlos Wilson; Granados Pinzon, Claudia InesEl teorema de Pascal establece que, para todo hexágono inscrito en una cónica, en el plano proyectivo, los lados opuestos del hexágono se cortan en tres puntos colineales. En este trabajo, realizamos un estudio de los conceptos y herramientas necesarias para dar la prueba al Teorema de Pascal, en geometría euclidiana y geometría proyectiva, y damos paso al análisis de problemas y construcciones en le geometría euclidiana, donde el uso del Teorema de Pascal permite resolver estos problemas y visualizar resultados. En el primer capítulo, repasaremos algunas definiciones y resultados de la geometría proyectiva, como lo pueden ser los espacios proyectivos y el uso de las coordenadas homogéneas, los cuales serán importantes para la prueba del Teorema de Pascal en geometría proyectiva. En el siguiente capítulo, introducimos el concepto de cónicas y exponemos los enunciados y demostraciones del Teorema de Pascal en geometría euclidiana y proyectiva, para poder dar una comparación de este teorema en ambas situaciones. Por ultimo, expondremos situaciones donde el uso del Teorema de Pascal nos permita obtener resultados, como lo puede ser en problemas de Olimpiadas Internacionales de Matemáticas o construcciones creadas en geometría euclidiana, para así dar a entender la utilidad del Teorema de Pascal en la geometría.Item Anillos de Grupo Locales(Universidad Industrial de Santander, 2024-10-28) Barajas Avila, Jhan Carlos; Holguín Villa, Alexander; Teheran Herrera, Arnoldo Rafael; Rodriguez Palma, Carlos ArturoUn anillo es llamado local si tiene exactamente un ideal maximal y en este caso coincide con el radical de Jacobson del anillo. Muchos problemas del álgebra conmutativa y la geometría algebraica pueden reducirse al caso cuando el anillo es local, como por ejemplo a menudo un anillo local surge de la localización de un anillo en un ideal primo. Se busca llevar esta noción de anillo local a la estructura algebraica de interés anillo de grupo, donde se observarán las caracterizaciones del anillo y del grupo y así determinar cuándo es un anillo local. El trabajo consta de cuatro capítulos. En el primer capítulo se abarcan los conceptos preliminares para el desarrollo del tema principal, en el segundo capítulo, se estudian la propiedades y resultados de la estructura algebraica de interés, los anillos de grupo, en el tercer capítulo se introduce el concepto de localización y el concepto de localidad en el contexto anillo teórico, por último en el cuarto capítulo, se presentan las condiciones necesarias y suficientes tanto del anillo como del grupo, que garantizan cuándo un anillo de grupo es local, asumiendo en todo momento que los anillos son no nulos y asociativos con identidad o unidad.Item Semigrupos numéricos irreducibles en N^d(Universidad Industrial de Santander, 2024-08-27) Forero Argel, Luis Alejandro; Olaya León, Wilson; Sepúlveda Castellanos, Alonso; Albarracín Mantilla, Adriana Alexandra; Teherán Herrera, Arnoldo RafaelSea $\mathbb{N}$ el conjunto de los enteros no negativos. Un semigrupo numérico $S$ es un submonoide de $\mathbb{N}$ cuyo complemento es un conjunto finito. En este trabajo se examinan propiedades e invariantes de los semigrupos numéricos y se estudian clases específicas de estos, como los semigrupos numéricos irreducibles y semigrupos numéricos con dimensión máxima. Finalmente, se definen los semigrupos numéricos en $\mathbb{N}^d$, donde $d$ es un entero mayor a cero, y se extiende el concepto de irreducibilidad a estos, utilizando herramientas computacionales como GAP y SageMath para la construcción y análisis de ejemplos.Item s-Familias profundas de Erdos(Universidad Industrial de Santander, 2024-08-26) Mauricio Jafet Santos Camargo; Rodríguez Palma, Carlos Arturo; Pinedo Tapia, Hector Edonis; Holguín Villa, AlexanderDado un subconjunto C de Zn, se define ∆C como el multiconjunto de distancias entre elementos no iguales de C. Tomando como inspiración el problema del plano de Erdos, diremos que C es un conjunto profundo de Erdos en Zn, si para cada i ∈ {1, 2, . . . , k}, con k = |C|, existe una única distancia, entre elementos de C, tal que su multiplicidad (cantidad de veces que se repite cada distancia en ∆C) es i. El presente trabajo; en primer lugar, presenta un estudio y reformulación de los trabajos previamente realizados sobre la caracterización de todo conjunto profundo de Erdos en Zn. Además, se establecen dos resultados que evidencian una forma de contar dichos conjuntos dependiendo de su tamaño y de Zn. En segunda instancia, se establece el concepto de s−familia profunda de Erd˝os en Zn y se estudian los resultados afines a este nuevo concepto, finalizando con una conjetura sobre la clasificación de las 2−familias profundas de Erdos en Zn.Item Propiedades del espacio de James(Universidad Industrial de Santander, 2024-08-24) Suárez Chávez, Herson Stiven; Delgado Benítez, Santiago José; Mantilla Pedroza, Edgar Eduardo; Moreno Pabón, Yeny Paola; Pérez León, Sergio Andrés; Rincón Villamizar, Michael Alexánder; López Ríos, Juan Carlos; Uzcategui Aylwin, Carlos EnriqueUn espacio es reflexivo si es isomorfo a su doble dual bajo la inyección canónica, dicha idea se examinó a través de diferentes conceptos preliminares, colocando énfasis en la construcción del matemático Robert C. James, quien por medio del \textit{Espacio de James}\footnote{James, R. C. (1951). A non-reflexive Banach space isometric with its second conjugate space. Proceedings of the National Academy of Sciences, 37 (3), 174-177 } $\mathcal{J}$ demostró con este contraejemplo la solución a la pregunta planteada años atras: \textit{¿un espacio de Banach $X$ es necesariamente reflexivo si, y solo si, es isométricamente isomorfo a su doble dual?} En este contexto, el trabajo se centró en la exploración de las propiedades principales de $\mathcal{J}$ como la monotonicidad, el estudio de su base reductora y el resultado primordial que motivo este trabajo donde se muestra que el espacio $\mathcal{J}$ es isométrico a $\mathcal{J}^{**}$ y es cuasirreflexivo de orden 1, donde dicho espacio $\mathcal{J}$ no posee ninguna base incondicional.Item Modelamiento de series de tiempo de conteo: Un caso de estudio para la venta de aves sacrificadas(Universidad Industrial de Santander, 2024-08-20) Sepulveda Ballesteros, Juan Diego; Rios Gutierrez, Andres Sebastian; Rivera Florez, Tulia Esther; Mantilla Duarte, Carlos AlfonsoEste estudio presenta un modelo de series de tiempo de conteo para analizar las ventas diarias de aves sacrificadas. Se emplearon las distribuciones de Poisson y binomial negativa para modelar el número de aves vendidas, considerando la estacionalidad y las tendencias presentes en los datos. Los resultados mostraron que la distribución binomial negativa proporcionó un mejor ajuste al conjunto de datos, lo que sugiere una mayor variabilidad en las ventas de lo esperado bajo un modelo de Poisson. Adicionalmente, se identificaron patrones estacionales y tendencias de decrecimiento en las ventas a lo largo del tiempo. Las implicaciones de este estudio son relevantes para la toma de decisiones en el negocio, ya que permite realizar pronósticos más precisos de la demanda, optimizar los niveles de inventario y ajustar las estrategias de marketing en función de las fluctuaciones estacionales.Item Criptografía poscuántica basada en códigos correctores de errores.(Universidad Industrial de Santander, 2024-08-20) Manrique Guerrero, Sandra Inés; Olaya León, Wilson; Gómez Ríos, Jorge Eliecer; Teherán Herrera, Arnoldo; Holguin villa, AlexanderLa teoría de la codificación y la criptografía son dos áreas fundamentales para las formas de comunicación modernas. La teoría de la codificación se centra en diseñar sistemas que permitan la transmisión confiable de información a través de canales que puedan estar sujetos a interferencias o ruido. Por otro lado, la criptografía se ocupa de asegurar la confidencialidad e integridad de la información, protegiéndola contra terceros que no tienen acceso autorizado. Dentro de la teoría de la codificación se destacan los códigos correctores de errores, los cuales permiten detectar y corregir errores que puedan ocurrir durante la transmisión de datos. Dentro de ellos se encuentran los códigos clásicos de Goppa, una familia de códigos lineales introducidos por Valery Denisovich Goppa en 1970, que ofrecen una buena alternativa para detectar y corregir errores durante la transmisión de datos, ya que se basan en polinomios sobre un cuerpo finito y aprovechan propiedades algebraicas avanzadas de estos polinomios para generar esquemas de corrección de errores eficientes. En el área de la criptografía, se destaca el potencial de los códigos de Goppa en sistemas criptográficos como el criptosistema McEliece . En esta tesis abordamos la criptografía poscuántica, que surgió dada la vulnerabilidad de la criptografía de clave pública frente a la computación cuántica. Nos centramos en el criptosistema McEliece, basado en la dificultad del problema de decodificación de códigos lineales aleatorios, como los códigos de Goppa, el cual, en 2022, fue uno de los finalistas del concurso para buscar un estándar en criptografía poscuántica organizado por el NIST (Instituto Nacional de Estándares y Tecnología de EE.UU.) en 2017, ya que pese a los numerosos ataques realizados, ha demostrado ser resistente a ataques utilizando computadoras cuánticas.Item Sobre la estructura de los dominios euclidianos(Universidad Industrial de Santander, 2024-08-02) Casallas Marín, Jhonnier Esteban; Pinedo Tapia, Héctor Edonis; Albarracín Mantilla, Adriana; Rodríguez Palma, Carlos ArturoLos dominios euclidianos son una clase de dominios enteros que se estudiaron por primera vez en el contexto de la teoría de números y posteriormente se generalizaron en la teoría de anillos, dicha estructura algebraica nace del querer generalizar el algoritmo de la división de los números enteros a otro tipo de conjuntos, como lo son los anillos y los cuerpos. El concepto de dominio euclidiano fue introducido por primera vez por el matemático alemán Ernst Eduard Kummer en el siglo XIX, en sus estudios sobre los números ideales. Sin embargo, la formalización moderna del concepto, tal y como se entiende hoy en día, se atribuye al matemático alemán David Hilbert a finales del siglo XIX y principios del XX, en sus trabajos sobre la teoría algebraica de los números y en su famoso libro «Zahlbericht» publicado en 1897. Keith Conrad muestra dos formas de definir un dominio euclidiano, la primera es un dominio entero (anillo conmutativo con unidad y sin divisores de cero) en el cual existe una función (comunmente llamada función euclidea) d la cual cumple dos propiedades: 1) 0 <= d(a) <= d(ab) para todo a y b distintos de cero en el anillo. 2) Para todo a y b en el anillo con b distinto de 0, es posible encontrar q y r en el anillo tal que a=bq+r, donde r=0 o d(r)Item Modelo de balance académico para la licenciatura en matemáticas de la Universidad Industrial de Santander(Universidad Industrial de Santander, 2024-07-30) Rueda Mantilla, Brallan Sleyner; Rivera Florez, Tulia Esther; Carrillo Escobar, Julio Cesar; Mantilla Duarte, Carlos AlfonsoEl objetivo de esta propuesta es desarrollar un modelo de informe semestral en formato digital dinámico para el programa de Licenciatura en Matemáticas, destinado a apoyar los procesos de acreditación y mejoramiento continuo del programa académico. Este proyecto es de tipo aplicado y descriptivo, utilizando análisis estadísticos para alcanzar los objetivos planteados, el cual fue elaborado en Power BI y se usaron técnicas de análisis de datos y visualización avanzada. La metodología del proyecto se dividió en tres fases principales: La recopilación de información relevante de balances académico y fuentes institucionales, la edición y organización de una base de datos robusta, y el diseño del modelo en Power BI. El modelo propuesto incluye diversos paneles de visualización que proporcionan información critica para la evaluación del programa. Entre estos, se encuentran resúmenes generales a nivel nacional y específico del programa de Licenciatura en Matemáticas, análisis detallados del estado académico de los estudiantes, deserción, sobrepermanencia, rendimiento por semestre y asignaturas críticas. Este análisis proporciona una visión detallada de la evolución académica de los estudiantes, identificando tendencias y factores que influyen en la deserción y otros eventos académicos importantes, facilitando así la toma de decisiones para mejorar el programa de Licenciatura en Matemáticas y apoyar los procesos de acreditación. Este enfoque permitirá a la universidad implementar un plan de mejoramiento y el éxito estudiantil.Item Teorema de Goodstein(Universidad Industrial de Santander, 2024-07-29) Castellanos Mantilla, Jamir Santiago; Uzcátegui Aylwin, Carlos Enrique; Olaya León, Wilson; Isaacs Giraldo, Rafael FernandoEn 1944 R.L. Goodstein definió para cada natural n una sucesión (n)k para la cuál sus términos se hacían cero. Esta sucesión permite definir la función de Goodstein G(n) como el menor k tal que (n)k = 0 para cada n natural. Goodstein mostró que no puede ser probado en la Aritmética de Peano que G sea total. En 2007 A. Caicedo ofrece una fórmula de la función de Goodstein usando jerarquías de funciones de crecimiento rápido además de concluir el mismo resultado de Goodstein como un corolario de la teoría de las funciones de crecimiento rápido. En esta tesis profundizamos en el artículo de A. Caicedo ofreciendo una demostración detallada a cada uno de los teoremas que aparecen en el artículo mencionado.Item Tres técnicas de regresión con aprendizaje de máquina: Regresiones Lineal, Ridge y Lasso(Universidad Industrial de Santander, 2024-05-21) Mogotocoro Sanabria, Juan Carlos; Ríos Gutiérrez, Andrés Sebastián; Romo Bucheli, David Edmundo; Rivera Flórez, Tulia EstherEn la actualidad el aprendizaje automático sirve para analizar grandes bases de datos almacenados en los avances tecnológicos y empresas. Normalmente, existen muchas variables predictoras en el modelo de regresión lineal. No obstante, el método de mínimos cuadrados ordinarios hace varias suposiciones sobre los datos lo que genera que no sea ciertas en datos reales. Frecuentemente, ocasiona problemas al ajustar el modelo mediante mínimos cuadrados. La dificultad más común es que el modelo se ajuste demasiado a los datos, esto pasa cuando el estimador es insesgado pero tiene una alta variabilidad. Para este problema las regresiones Ridge y Lasso son dos técnicas de regularización utilizadas para crear un modelo mejor y más preciso. Las cuales se basan en reducir el número de variables imponiendo una penalización sobre los coeficientes de regresión que obliga a que los coeficientes tiendan a cero o incluso sean cero. Por último, se realiza una implementación con dos conjuntos de datos donde se comparan los tres modelos y se elige el que mejor tenga ajuste con el criterio del menor error cuadrático medio (ECM).Item Sobre anillos fuertemente unitarios y casi fuertemente unitarios(Universidad Industrial de Santander, 2024-05-21) Cruz López, Andrés Felipe; Pinedo Tapia, Héctor Edonis; Granados Pinzón, Claudia Inés; Holguin Villa, AlexanderEl anillo Z_6 de los enteros módulo 6, cumple la propiedad de que posee identidad multiplicativa y además todos sus subanillos propios también posee uno. Se le ha dado el nombre de anillos fuertemente unitarios a todos los anillos que cumplen la misma propiedad que Z_6, esto es anillos que son unitarios y además todos sus subanillos propios también poseen uno (aunque no siempre coincida con el uno del anillo). De la misma manera también se denota por anillos casi fuertemente unitarios a los anillos R que no poseen identidad multiplicativa pero todos sus subanillos propios sí poseen uno. En este trabajo presentaremos una caracterización sencilla de los anillos fuertemente unitarios y de los anillos casi fuertemente unitarios y analizaremos su naturaleza relacionándolos con cuerpos absolutamente algebraicos de característica prima. El documento se encuentra estructurado de la siguiente manera: en el primer capítulo, llamado Preliminares, se presentan algunas nociones sobre ideales, cuerpos y anillos artinianos que serán necesarias manejar por parte del lector para una buena comprensión de las siguientes secciones. En el capítulo posterior se presenta la definición de anillos fuertemente unitarios y se proporciona una caracterización de los mismos, relacionándolos con cuerpos de característica prima. Por último se exponen las principales características de la naturaleza de los anillos casi fuertemente unitarios, a la vez que se proporciona algunos teoremas que permiten diferenciarlos, en un tercer capítulo llamado Anillos casi fuertemente unitarios. Finalmente se encuentran los documentos y fuentes bibliográficas que se utilizaron en la realización de este trabajo en el apartado llamado Bibliografía.Item Elementos regulares en los semigrupos L_F(V) Y MN(F)(Universidad Industrial de Santander, 2024-05-18) Camacho Parra, Juan Camilo; Pinedo Tapia, Héctor Edonis; Goméz Rios, Jorge Eliecer; Uzcategui Alwyn, Carlos EnriqueLa teor ́ıa de semigrupos regulares es introducida por J.A. Green en 1951 en su art ́ıculo On the Structure of Semigroups 1 la cual consiste en la b ́usqueda de aquellos elementos que se comportan de forma similar a los elementos invertibles en un grupo, estos elementos se les conoce como elementos regulares, es decir, un elemento x ∈ S es un elemento regular si existe y ∈ S tal que xyx = x, decimos que S es un semigrupo regular si todo elemento en S es regular. Sea S un semigrupo regular y sea U un subsemigrupo de S. Una pregunta natural que surge es: ¿Es U un semigrupo regular? La respuesta en general es NO, as ́ı que la siguiente pregunta es: ¿Bajo qu ́e condiciones U es un semigrupo regular?. En 2007 S. Nenthein y Y. Kemprasit en 2 consideran el semigrupo de las transformaciones lineales T : V → V con la composici ́on de funciones y teniendo en cuenta que el subsemigrupo de un semigrupo regular no es necesariamente regular, consideran los subsemigrupos IF(V, W ) = {T ∈ LF(V ) | im T ⊆ W } y KF(V, W ) = {T ∈ LF(V ) | W ⊆ ker T }. Donde W es un subespacio vectorial de V . Se caracterizan sus elementos regulares y mas tarde en 3 se estudiaran algunos ideales del subsemigrupo Reg (IF(V, W )). Por otro lado, en 2 tambi ́en se exponen las caracterizaciones de los elementos regulares de los subsemigrupos Cn(F, k) = {A ∈ Mn(F) | aij = 0 ∀i, j ∈ {1, . . . , n} y j > k} Rn(F, k) = {A ∈ Mn(F) | aij = 0 ∀i, j ∈ {1, . . . , n} y i > k} del semigrupo Mn(F) junto con la multiplicaci ́on usual de matrices. En este trabajo de grado expondremos los resultados obtenidos en 2 para la caracterizaci ́on de los elementos regulares en IF(V, W ) = {T ∈ LF(V ) | im T ⊆ W } y KF(V, W ) = {T ∈ LF(V ) | W ⊆ ker T } y as ́ı extenderlo a los subsemigrupos Cn(F, k) y Rn(F, k) de Mn(F), posteriormente expondremos los resultados en 3 acerca de los ideales de Reg (IF(V, W )).Item Propiedades dinámicas en espacios métricos compactos(Universidad Industrial de Santander, 2024-05-06) Ferreira Delgado, Winston Deian Andrey; Camargo García, Javier Enrique; Perez León, Sergio Andres; Julio Batalla, Jurgen AlfredoUn sistema dinámico discreto es una pareja (X,f), donde X es un espacio métrico y f: X -> X una función continua. Los sistemas dinámicos discretos pueden ser simples o complejos, y pueden exhibir una amplia variedad de comportamientos, incluyendo: ciclos periódicos, sensibilidad, transitividad o diferentes nociones de caos. Siendo este último en el cual nos enfocaremos en este trabajo.Item Complementación en el retículo de topologías de Alexandroff(Universidad Industrial de Santander, 2024-05-04) Martínez Díaz, Andrea; Uzcátegui Aylwin, Carlos Enrique; Pinedo Tapia, Hector Edonis; Camargo García, Javier EnriqueUn retículo L es un conjunto ordenado en el cual, para cualquier par de elementos, existe el supremo e ínfimo. Además, se dice que es un retículo complementado si, para cada elemento x en el retículo, existe y tal que el supremo e ínfimo de estos son el elemento máximo y el elemento mínimo del retículo, respectivamente. En este trabajo, se estudian algunos retículos complementados, en particular, A(X) el retículo de las topologías de Alexandroff, y CO(X) el retículo de los cuasiordenes sobre X. Se demuestra que estos son retículos isomorfos y se utiliza en la prueba de que A(X) es complementado. También presentamos un resultado obtenido por Menix y Richmond sobre un tipo especial de topologías de Alexandroff, FA(X) las topologías primales sobre X.Item La métrica: Génesis de la topología de vecindades(Universidad Industrial de Santander, 2024-03-12) Ortiz, Álvaro; Camargo García, Javier Enrique; Uzcátegui Aylwin, Carlos Enrique; Pérez León, Sergio AndrésEn 1906, en su tesis doctoral, Fréchet introduce la noción abstracta de Espacio métrico. Esta definición estaba enfocada al estudio de convergencia y resulta un tanto imprecisa en términos de la matemática actual. Es por esto que la noción de espacio métrico como la conocemos hoy en día es atribuida a F. Hausdorff. En 1914, Hausdorff presenta la definición de espacio métrico con las ideas de los trabajos de Hilbert y Weyl, que a su vez da origen al concepto de “entorno”; objeto fundamental de la Topología general. Es por esto que personalidades como Bourbaki en su libro Topología general afirma: “con Hausdorff comienza la topología general como se la entiende actualmente.”(En [1], página 126 se lee: “Avec Hausdorff commence la topologie genérale telle qu’on l’entend aujourd’hui”.) La convergencia en espacios métricos es fundamental en el desarrollo del análisis. Además, la métrica determina el nivel de diferencia o lejanía entre objetos. Es por esto que el estudio de los espacios métricos es de gran importancia y determina una manera de estudiar la topología del espacio. En cursos básicos de topología general se estudia como la métrica induce naturalmente una colección de abiertos llamada topología, y que, distintas métricas pueden generar la misma topología teniendo propiedades diferentes en el contexto de los espacios métricos. Solo por dar un ejemplo las expresiones |x−y| y |x−y|1+|x−y| definen métricas que generan la misma topología en R, pero a diferencia de la primera, la segunda únicamente toma valores entre 0 y 1, esto es, es una métrica acotada. En nuestro trabajo investigaremos diferentes tipos de métricas que podemos definir sobre un conjunto. Haremos diferencias entre estas métricas tanto desde el punto de vista topológico, como en el contexto propio de los espacios métricos. Una propiedad “propia de los espacios métricos” es una propiedad que podría dañarse si cambiamos la métrica, sin alterar la topología. En este trabajo planteamos el problema de encontrar propiedades propias de la métrica, y esperamos que el lector se interese por el tema y pueda investigar nuevas propiedades y tal vez, sea un punto de partida para futuras investigaciones. Esta tesis la dividimos en dos capítulos: en el primer capítulo introducimos la definición de métrica, damos varios ejemplos, comparamos sus topologías y estudiamos algunas propiedades; en el segundo y último capítulo, estudiamos el Teorema de Heine-Borel y abordamos la noción de espacio métrico completo, estudiamos algunas propiedades de esta importante clase de espacios métricos y finalmente, presentamos las funciones uniformemente continuas, planteando algunas preguntas entorno a la influencia de la métrica en las funciones continuas.Item Análisis topológico de primitivas cinemáticas para la caracterización del Parkinson(Universidad Industrial de Santander, 2021) Castrillón Gamboa, Yessica Carolina; Martínez Carrillo, Fabio; Gomez Jaramillo, Francisco AlbeiroEsta investigación se centra en el Análisis Topológico de Datos (TDA), una herramienta matemática que permite estudiar la estructura topológica de una nube de puntos (datos) conel objetivo de encontrar “agujeros” k—dimensionales, a través de la homología persistente. Por mediode esta herramienta se propuso una metodología alternativa para la caracterización de la enfermedad de Parkinson (EP), modelando puntos k—dimensionales que representan la periodicidad durantela marcha de cada paciente. Inicialmente, se registran videos de personas control y pacientes con EPy se extraen trayectorias de movimientos. Cada trayectoria se caracteriza por su periodicidad usando SW1PerS (por sus siglas en ingles: Sliding Windows and 1-Persistence Scoringes). Entonces, unanálisis de homología persistente es realizado sobre los puntos de cada trayectoria, calculando índices topológicos que permiten medir características de predictibilidad. Esta metodología fue evaluadaen un conjunto de 22 pacientes (11 pacientes con la EP y 11 pacientes control). El índice topológicocon mayor capacidad de discriminación entre las dos poblaciones de pacientes es el basado en laperiodicidad con el método SW1PerS. En este sentido, se evidencia que los pacientes de párkinsony las personas control tienen diferencias estadísticamente significativas con respecto a los patronesde periodicidad definidos.