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Item La métrica: Génesis de la topología de vecindades(Universidad Industrial de Santander, 2024-03-12) Ortiz, Álvaro; Camargo García, Javier Enrique; Uzcátegui Aylwin, Carlos Enrique; Pérez León, Sergio AndrésEn 1906, en su tesis doctoral, Fréchet introduce la noción abstracta de Espacio métrico. Esta definición estaba enfocada al estudio de convergencia y resulta un tanto imprecisa en términos de la matemática actual. Es por esto que la noción de espacio métrico como la conocemos hoy en día es atribuida a F. Hausdorff. En 1914, Hausdorff presenta la definición de espacio métrico con las ideas de los trabajos de Hilbert y Weyl, que a su vez da origen al concepto de “entorno”; objeto fundamental de la Topología general. Es por esto que personalidades como Bourbaki en su libro Topología general afirma: “con Hausdorff comienza la topología general como se la entiende actualmente.”(En [1], página 126 se lee: “Avec Hausdorff commence la topologie genérale telle qu’on l’entend aujourd’hui”.) La convergencia en espacios métricos es fundamental en el desarrollo del análisis. Además, la métrica determina el nivel de diferencia o lejanía entre objetos. Es por esto que el estudio de los espacios métricos es de gran importancia y determina una manera de estudiar la topología del espacio. En cursos básicos de topología general se estudia como la métrica induce naturalmente una colección de abiertos llamada topología, y que, distintas métricas pueden generar la misma topología teniendo propiedades diferentes en el contexto de los espacios métricos. Solo por dar un ejemplo las expresiones |x−y| y |x−y|1+|x−y| definen métricas que generan la misma topología en R, pero a diferencia de la primera, la segunda únicamente toma valores entre 0 y 1, esto es, es una métrica acotada. En nuestro trabajo investigaremos diferentes tipos de métricas que podemos definir sobre un conjunto. Haremos diferencias entre estas métricas tanto desde el punto de vista topológico, como en el contexto propio de los espacios métricos. Una propiedad “propia de los espacios métricos” es una propiedad que podría dañarse si cambiamos la métrica, sin alterar la topología. En este trabajo planteamos el problema de encontrar propiedades propias de la métrica, y esperamos que el lector se interese por el tema y pueda investigar nuevas propiedades y tal vez, sea un punto de partida para futuras investigaciones. Esta tesis la dividimos en dos capítulos: en el primer capítulo introducimos la definición de métrica, damos varios ejemplos, comparamos sus topologías y estudiamos algunas propiedades; en el segundo y último capítulo, estudiamos el Teorema de Heine-Borel y abordamos la noción de espacio métrico completo, estudiamos algunas propiedades de esta importante clase de espacios métricos y finalmente, presentamos las funciones uniformemente continuas, planteando algunas preguntas entorno a la influencia de la métrica en las funciones continuas.Item Análisis topológico de primitivas cinemáticas para la caracterización del Parkinson(Universidad Industrial de Santander, 2021) Castrillón Gamboa, Yessica Carolina; Martínez Carrillo, Fabio; Gomez Jaramillo, Francisco AlbeiroEsta investigación se centra en el Análisis Topológico de Datos (TDA), una herramienta matemática que permite estudiar la estructura topológica de una nube de puntos (datos) conel objetivo de encontrar “agujeros” k—dimensionales, a través de la homología persistente. Por mediode esta herramienta se propuso una metodología alternativa para la caracterización de la enfermedad de Parkinson (EP), modelando puntos k—dimensionales que representan la periodicidad durantela marcha de cada paciente. Inicialmente, se registran videos de personas control y pacientes con EPy se extraen trayectorias de movimientos. Cada trayectoria se caracteriza por su periodicidad usando SW1PerS (por sus siglas en ingles: Sliding Windows and 1-Persistence Scoringes). Entonces, unanálisis de homología persistente es realizado sobre los puntos de cada trayectoria, calculando índices topológicos que permiten medir características de predictibilidad. Esta metodología fue evaluadaen un conjunto de 22 pacientes (11 pacientes con la EP y 11 pacientes control). El índice topológicocon mayor capacidad de discriminación entre las dos poblaciones de pacientes es el basado en laperiodicidad con el método SW1PerS. En este sentido, se evidencia que los pacientes de párkinsony las personas control tienen diferencias estadísticamente significativas con respecto a los patronesde periodicidad definidos.Item Implementación del método de reciprocidad dual en el estudio de ecuaciones diferenciales parciales(Universidad Industrial de Santander, 2021) Pinzón Morantes, Jefferson; Pérez López, Jhean EleisonEste trabajo se centra en el análisis del Método de Reciprocidad Dual (MRD), unaherramienta matemática que permite hacer frente a las integrales de dominio que aparecen en losllamados Métodos de Elementos en la Frontera, a través de una expansión en series con funciones de aproximación. El método se utilizó para resolver problemas lineales homogéneos como laecuación de Laplace, lineales no homogéneos como la ecuación Poisson y problemas no linealescomo la ecuación de Burgers y dependientes del tiempo como la ecuación de calor, con dominio enuna circunferencia, utilizando condiciones de frontera tipo Dirichlet, Neumann y Mixtas. El Métodode Reciprocidad Dual (MRD) fue introducido por Nardini y Brebbia en 1982 para problemas elastodinámicos y extendido por Wrobel y Brebbia a problemas de difusión en 1986, aunque no tan usadocomo el método de elementos finitos o de diferencias finitas, ha sido usado en diversos trabajosde investigación incluyendo la ecuación de Navier-Stokes 2-Dimensional, problemas de Helmholtz,flujo de Stokes, flujo magneto-hidrodinámico, problemas de haptotaxis y haptotaxis-quimiotaxis, entre otros. En este proyecto se planea introducir los aspectos teóricos básicos relativos al métodode reciprocidad dual. El problema consiste en entender los aspectos matemáticos que permiten ladeducción de los esquemas numéricos y la implementación de las diferentes rutinas en el softwareMatlab, abordando algunos problemas sencillos de ecuaciones diferenciales lineales y no lineales.Item Una introducción a la ecuación de Benjamin-Ono(Universidad Industrial de Santander, 2021) Rueda Niño, José Camilo; Arenas Díaz, GilbertoLa ecuación Benjamin-Ono es una ecuación diferencial parcial no lineal dispersiva que posee importancia en el estudio de fenómenos que están relacionados con ondas de agua, y el análisis matemático, no solo eso,también esta ecuación ha permitido desarrollar diversos modelos y es utilizada en diversos campos. El presente trabajo tiene como objetivo mostrar algunas nociones históricas acerca del estudio de ondas estacionariasque dieron origen a la ecuación Benjamin-Ono, describiendo las observaciones de Russell que fueron la base para elplanteamiento de la ecuación KdV que sirvió como inspiración para Benjamin al plantear su modelo, que luego seríaestudiado por Ono. Por consiguiente, se mostrará el proceso de deducción para la ecuación Benjamin-Ono.Adicionalmente, con base en los problemas de Cauchy planteados por lorio para la ecuación Benjamin-Ono en Josélório (1986); lório Jr (1991) se estudiará el buen planteamiento para uno de los problemas en los espacios H*(R),tal que s €R y 4, = H"(R)NL?(R), con r=0,1,2, mientras que para el otro problema de Cauchy se mostrará queexiste un único elemento u. tal que pertenece a C([0, 73]; H*(R)) y su derivada con respecto al tiempo pertenece a C ([0,7,];H*-?(R)) tal que satisface dicho problema de Cauchy.Item Función zeta local de igusa y polígono de Newton(Universidad Industrial de Santander, 2021) Garnica Cruz, Julián Andrés; Albarracin Mantilla, Adriana AlexandraLas funciones zeta locales son funciones generadoras, importantes en matemática por las relacionesque tienen con teoría de números, sistemas dinámicos, ecuaciones pseudo-diferenciales sobre cuerpos p-ádicos, geometría algebraica, big-data, criptografía sobre curvas elípticas, biología, genéticay psicología entre otras. Estos objetos están fuertemente conectados con cuerdas y amplitudes deFeynman. En la década del 70, Igusa utiliza el destacado Teorema de resolución de singularidadesde Hironaka para mostrar que, la función zeta local es una función racional, siempre y cuando elcuerpo no arquimediano tenga característica cero. En el caso no arquimediano, por ejemplo en elcaso p—ádico, la función zeta local está relacionada con el número de congruencias polinomiales mód p” y sumas exponenciales mód p””.Item Sobre dominios euclídeos y cuerpos ciclotómicos(Universidad Industrial de Santander, 2021) Cortes Villamizar, Johan Sebastián; Teherán Herrera, Arnoldo RafaelEn este trabajo consiste en estudiar algunos conceptos y resultados de la teoría de anillos y cuerpos. En el primercapítulo se retoman conceptos y resultados clásicos sobre grupos, anillos, cuerpos y módulos, necesarios para entenderla parte central del trabajo. En el segundo capítulo se definen las raíces primitivas de la unidad, los polinomios ciclotómicos y se pruebanresultados que nos permiten calcular un polinomio ciclotómico ,(x) independiente del valor de n € Z*, ademásse muestran algunos ejemplos donde se usan esos resultados. En el tercer capítulo se retoma la definición de dominio euclídeo y se introducen nuevos conceptos como conjuntoderivado, cadena euclídea y unos ejemplos donde se hace uso de estos para probar cuando un anillo es un dominioeuclídeo. Se presentan las condiciones necesarias y suficientes para que un anillo sea un dominio euclídeo, llegando aun resultado importante, basado en desigualdades para mostrar cuando dominio es euclídeo. En el último capítulo se presentan el cuerpo de funciones algebraicas, lugares y valuaciones, con el objetivo de mostrarla construcción del cuerpo de funciones ciclotómicos, se exponen algunos resultados mostrados en el capítulo anterior, vía esta nueva construcción.Item El teorema de Hahn-Mazurkiewicz(Universidad Industrial de Santander, 2021) Cáceres Gómez, Yelsin Leonel; Camargo García, Javier EnriqueUn continuo es un espacio métrico compacto, conexo y no vacío. Un continuo de Peano es un continuo localmente conexo. Dado un espacio métrico X y Y C X, diremos que Y tiene la propiedad S sipara cada e > 0, existen 41,..., A, subconjuntos conexos de Y tales que Y = );_, A; y diám(4;) < epara cada ¡ € (1,....n). Así mismo, diremos que una función F: X > CL(Y) es semicontinua superiormente en xy € X si para cada abierto V de Y, con F(xp) € V, existe un abierto U de X, conxp € U, tal que F(x) € V para cada x € U, donde CL(Y) = (4 C Y | A escerrado y A 4). Eneste trabajo daremos una condición necesaria y suficiente para que un continuo sea un continuo de Peano. También, se mostrarán algunas propiedades con respecto a las multifunciones. En el Capitulo[T] se darán algunos conceptos básicos de topología y las propiedades más relevantessobre la propiedad S que se usarán posteriormente. En el Capítulo[2]veremos un resultado imprescindible que nos ofrece una manera de construir funciones continuas y sobreyectivas (Teorema Generalde Funciones). En el Capítulo[8] usaremos las multifunciones para mostrar que el espacio de Cantores el único compacto métrico, totalmente disconexo y sin puntos aislados. También, probamos quetodo métrico compacto es cociente del espacio de Cantor. Finalmente, En el Capítulo [4] se enunciaEl Teorema de Hahn-Mazurkiewicz, el cual brinda una condición necesaria y suficiente para que un continuo sea un continuo de Peano.Item Introducción a la teoría de matroides(Universidad Industrial de Santander, 2021) Rugeles Triana, Iván Mauricio; Olaya León, WilsonEn este trabajo se hace una introducción a la teoría de Matroides. Se presentarán algunas de las definiciones más usadas para referirse a una matroide, donde se incluyen resultados de la teoría de grafos, transversalese independencia lineal, todas ellas como sistemas axiomáticos. Mostraremos que todas estas definiciones son equivalentes, fenómeno conocido como criptomorfismo. También se mostrará una aplicación de la teoría de Matroides para solucionar problemas de optimización sobre grafos (algoritmo Greedy). En el primer capítulo se presentan los conceptos básicos de la teoría de grafos, espacios vectoriales y teoría de transversales, estos resultados serán utilizados para definir Matroides; en el segundo capítulo mostraremos los diferentesmodos de definir Matroides sin perder la esencia de la independencia lineal introducida por Whitney. Para finalizar, enel tercer capítulo, mostraremos la aplicación más conocida en la teoría de matroides, que permite solucionar algunos delos problemas de optimización sobre grafos, en este caso los problemas de optimización más usados son de maximizaro minimizar, donde el algoritmo que usaremos es óptimo cuando cumple los axiomas que definen a una matroide, encaso contrario el algoritmo no es óptimo. La forma como organizamos la presentación de este trabajo permite comprender de una manera sencilla la noción del termino matroide y su importancia en aplicaciones de optimización sobre grafos.Item Análisis de geodésicas principales sobre el espacio de las matrices de covarianza para la descripción de acciones en video(Universidad Industrial de Santander, 2021) Niño Campos, Santiago; Martínez Carrillo, Fabio; Galvis Casanova, Juan ManuelEn el análisis de video las matrices de covarianza han sido una forma compacta y robusta de representar acciones u actividades cotidianas, tales representaciones suelen ser redundantes y puedenser expresadas de una forma más compacta utilizando elementos característicos como su media ysus direcciones de mayor variación. El Análisis de Componentes Principales (ACP) es un proceso estadístico que permite reducir la dimensión de un conjunto de datos mediante proyecciones sobre lasdirecciones de mayor varianza, este proceso en espacios Euclidianos es de gran utilidad, sin embargo, en espacios curvos este método resulta ineficiente ya que tales direcciones no necesariamenteson lineales. En este trabajo se estudia el espacio de las matrices de covarianza formulado comouna variedad Riemanniana equipado de una métrica conocida como afín-invariante la cual nos otorga propiedades importantes y necesarias como la existencia y unicidad de geodésicas, a su vez seestudia desde un enfoque geométrico el ACP generalizando los conceptos de varianza, subvariedadgeodésica y proyección. Todo ello permite formular el análisis de geodésicas principales (AGP) comouna aproximación mediante el espacio tangente a la variedad, de allí se estudian dos algoritmos quecomputan este cálculo. De lo anterior se propone un descriptor dado por la concatenación de la media y las direcciones de mayor varianza mediante el uso de dos algoritmos: Fletcher y Yuchen. En elexperimento inicial se obtienen una exactitud del 67.79% para el algoritmo de Fletcher y un 68.84 % en el algoritmo de Yuchen, en este último se evidencia un menor número de componentes utilizadas.Item Una introducción a la teoría de la optimización difusa(Universidad Industrial de Santander, 2021) Garzón Laguado, Natalia Stefania; Villamizar Roa, Élder JesúsCon el origen de la teoría de conjuntos difusos, introducida en 1965 por parte de Lofti A. Zadeh, y con ello el concepto de funciones difusas, múltiples autores han centrado su atención en el estudio de problemas de optimización de funciones difusas sujetas o no a restricciones difusas, lo cual puede verse reflejado en un considerable número de publicaciones que actualmente encontramos en la literatura. El interés en la optimización difusa radica en el hecho de que en la práctica es común encontrar problemas de optimización que requieren incorporar información ambigua, imprecisa, o difusa a través de las funciones objetivo y sus restricciones. En el presente trabajo estudiamos desde un punto de vista teórico el problema de programación matemática difusa con restricciones de naturaleza difusa. En primer lugar, mencionamos los conceptos básicos de la teoría de conjuntos difusos para extender de manera natural los conceptos de optimización en el contexto difuso. Esto naturalmente implica un análisis previo de la diferenciabilidad de funciones difusas, como preámbulo para el análisis de condiciones de optimalidad. En particular, se describe un concepto de punto estacionario, basado en la gH diferenciabilidad. El objetivo final del trabajo es analizar condiciones necesarias y suficientes de optimalidad para problemas de optimización difusa, como una extensión de las condiciones de Karush-Kunh-Tucker para problemas de optimización no lineal con restricciones de desigualdad en el sentido clásico.Item Continuos 1/2 homogéneos(Universidad Industrial de Santander, 2021) Silva Granada, Juan David; Camargo García, Javier EnriqueUn continuo es un espacio métrico, compacto, conexo y diferente de vacío. La idea intuitiva de un continuo homogéneo es la de un espacio en el que todos sus puntos tienenentornos que preservan las mismas características topológicas y su definición formalestablece que un continuo es homogéneo si para cualesquiera dos puntos existe unhomeomorfismo que mapea uno de ellos en el otro. Sin embargo, bajo esta definición,existen espacios para los cuales no es posible escoger de manera arbitraria dos puntospara los cuales exista el homeomorfismo antes mencionado y es allí donde se introducela definición de continuos ¿ homogéneos; particularmente los continuos 3 homogéneos,son aquellos en los cuales se generan 2 órbitas por la acción del grupo de homeomorfismos del espacio en sí mismo, un ejemplo que ilustra esta definición lo podemos tenerde un espacio conocido como lo es el intervalo unitario, ya que en este espacio, sus extremos pertenecen a una única órbita mientras que todo punto interior pertenece a otraórbita diferente. De allí que el intervalo pueda ser escrito como la unión de estas dosórbitas y por ende, ser un continuo 3 homogéneo. Es importante encontrar órbitas enlos diferentes continuos, especialmente en los grafos, esta es una tarea enriquecedoraal momento de clasificarlos como l homogéneos. A partir de esto, es posible obtenerresultados interesantes sobre continuos como el arco, que se puede caracterizar comoel único continuo 3 homogéneo, semilocalmente conexo que tiene más de un punto decorte. También se puede establecer que el continuo conocido como el “Arete Hawaiano”es el único continuo hereditariamente localmente conexo, 3 homogéneo, que no es un grafo y su conjunto de puntos de corte es no vacío.Item Estudio numérico del modelo de Cahn-Hilliard(Universidad Industrial de Santander, 2021) Moreno Villamil, Iván; Rueda Gómez, Diego ArmandoEl estudio de la dinámica interfacial forma un papel clave dentro de múltiples aplicaciones científicasde ingeniería e industriales donde se necesita modelar mezclas de diferentes fluidos para entendersu comportamiento. Un enfoque para resolver problemas de interfaz es la teoría de interfaz difusala cual permite modelar y aproximar transiciones de fase sólido-líquido, describiendo la interfaz mediante una mezcla de energía, con límites de espesor finito. En este trabajo, se presenta un estudionumérico para el modelo de interfaz difusa de Cahn-Hilliard, el cual se introdujo en sus orígenes paramodelar las transiciones de fase en aleaciones de hierro y las fuerzas termodinámicas que impulsanla separación de fases. Específicamente, se estudian diversos esquemas de aproximación numéricade primer y segundo orden en el tiempo, usando el método de elementos finitos para la aproximación espacial y el método de diferencias finitas para la aproximación temporal. Se realizan algunascomparaciones entre ellos y se prueban ciertas propiedades tales como: la estabilidad energética, laconservación de la masa total y el buen planteamiento de cada esquema. Finalmente, se muestranlos resultados de algunas simulaciones numéricas realizadas usando el software Freefem++, a partir de las cuales se puede evidenciar el buen desempeño de estos esquemas.Item Estudio de un problema diferencial modelando deformación de membranas vesiculares(Universidad Industrial de Santander, 2021) Rueda Fernández, Elian Esteban; Rueda Gómez, Diego ArmandoLos esquemas numéricos para simular la deformación de las membranas de las vesículas sehan estudiado ampliamente en los últimos tiempos debido a su conexión con algunos problemasde motivación biológica. El presente trabajo se enfoca en el estudio de un modelo que describela deformación de una membrana vesicular con un fluido circundante, el cual es denominadocomo modelo de Cahn-Hilliard-Navier-Stokes (CHNS). En la primera parte, usando el método deaproximaciones de Galerkin, se estudia la existencia de soluciones débiles del modelo CHNS.En la segunda parte, se realiza un estudio numérico, en el que se analizan dos esquemasde aproximación para el problema bajo estudio, usando el método de elementos finitos para laaproximación espacial y el método de diferencias finitas para la aproximación temporal. Para estosesquemas se prueban algunas propiedades tales como: buen planteamiento, conservación delvolumen, estabilidad energética y convergencia hacia soluciones débiles. Finalmente, se muestran los resultados de algunas simulaciones numéricas realizadas usando el software Freefem+-+.Item Sobre la factorización de ideales en dominios de dedekin(Universidad Industrial de Santander, 2021) Archila Prada, Astrid Carolina; Pinedo Tapia, Hector EdonisEste trabajo se divide en dos capítulos, en el primero se dan definiciones, proposiciones y teoremasgenerales sobre estructuras algebraicas que resultan útiles para desarrollar las bases de númerosalgebraicos en una manera relativamente elemental. También se enuncian caracterizaciones para los anillos noetherianos. En el segundo capítulo, las dos primeras secciones establecen las propiedades de las extensiones decuerpos de los números racionales que se obtienen de adjuntar números algebraicos. En particular,se demuestra que cada una de estas extensiones son de la forma Q(9) con 4 un número algebraico(Teorema elemento primitivo (21-11). En la tercera sección se introduce el anillo de enteros de uncuerpo numérico K, denotado por D = Kn B siendo B el conjunto de números algebraicos; se pruebaque D es noetheriano, integralmente cerrado y que todo ideal primo de D es maximal (Teoremal2.3.4).A partir de estas propiedades se define la estructura de dominio de Dedekind y se demuestra en estecaso general que los ideales fraccionarios forman un grupo bajo la multiplicación (item 1. Teorema[2.3-7. De esto se deduce que todo ideal de D se escribe como producto finito de ideales primos yeste producto es único salvo por el orden de los factores (item 2. Teorema|2.3.7). En la sección finalse define la norma de un ideal y se demuestra que dado un entero positivo este es la norma de unnúmero finito de ideales de D (Teorema[2.4.10), lo cual es posible por la factorización prima única endominios de Dedekind.Item Composiciones enteras y sus aplicaciones(Universidad Industrial de Santander, 2021) Mantilla Rozo, Jazmin Liseth; Olaya León, WilsonEn este trabajo se hace un estudio de la teoría de composiciones de números enteros y su aplicacióna los autómatas. En el primer capítulo se introducen los conceptos básicos de composiciones. Enparticular, se muestran las composiciones con restricciones en el conjunto de las partes mostrandola conexión que existe entre este tipo de composiciones y los números generalizados de Fibonacci(o k-bonacci). También se estudian composiciones palíndromas y de Carlitz, las cuales se obtienenal restringir la ubicación de las partes y finalmente, composiciones n-coloreadas, estas son unageneralización de las composiciones clásicas y se obtienen al colorear las partes de la composicióncon colores diferentes. Durante el desarrollo de este capítulo se muestran códigos en sagemathpara obtener cada uno de estos tipos de composiciones. Posteriormente, en el segundo capítulo seintroduce la noción de función generatriz y de método simbólico, este método utiliza los gráficos debarras asociados a las composiciones para hallar sus respectivas funciones generatrices. Por último,en el tercer capítulo se establece una aplicación de las composiciones a los autómatas finitos paradefinir secuencias recursivamente y luego expresar las estructuras recursivas en un grafo asociado.Además en la sección 3.2, se incluyen algunos resultados obtenidos durante el desarrollo de este trabajo sobre composiciones superdiagonal y composiciones d-superdiagonal.Item Continuos de awartani(Universidad Industrial de Santander, 2021) Araque Alarcón, Edwin Rene; Camargo García, Javier EnriqueUn continuo X se dice encadenable si, para cada ε > 0, existe una ε-función f : X → [0, 1]; esto es, existe f : X → [0, 1] continua y sobreyectiva tal que diam(f −1 ε (t)) < ε, para cada t ∈ [0, 1]. En general, dos continuos se dicen incomparables si no existen funciones continuas y sobreyectivas en ninguna dirección; es decir, X y Y son incomparables si no existe f : X → Y continua y sobreyectiva, ni tampoco g : Y → X continua y sobreyectiva. En 1970, en 1 , el profesor J. Rogers pregunto si era posible construir una familia no numerable de continuos encadenables mutuamente incomparables. Un año más tarde, David Bellamy en su artículo titulado “An uncountable collection of chainable continua,” 2 , construyó dicha familia dando respuesta afirmativa a la pregunta de Rogers. Sin embargo, los continuos de Bellamy son ejemplos complejos, donde cada continuo tiene infinitas arco-componentes. Así, Marwan M. Awartani en el artículo titulado “An Uncountable Collection of Mutually Incomparable Chainable Continua” 3 construye continuos encadenables que dan respuesta a la pregunta de Rogers, cada uno de los cuales es una compactación del intervalo (0, 1] y el residuo es homeomorfo al intervalo cerrado [0, 1]. En este trabajo estudiamos el artículo de Awartani y mostramos con detalle la construcción y las pruebas que muestran que efectivamente esta familia satisface las condiciones para dar respuesta a la pregunta del profesor Rogers. El desarrollo de esta monografía consta de 3 capítulos. Se hace una revisión bibliográfica de los conceptos intrínsecos de los continuos, definimos las relaciones dominar y dominar verticalmente en el espacio de Cantor. Luego demostramos que con respecto a estas relaciones existe una colección no numerable de sucesiones mutuamente incomparables. Finalmente, asociamos cada elemento de dicha colección con una compactación del rayo con el arco como resto y demostramos que no existe un una función continua y sobreyectiva entre cualquier par de tales compactaciones. Con esto completamos el objetivo principal de este trabajo.Item Teoremas de Ramsey(Universidad Industrial de Santander, 2021) Núñez Rubiano, Camilo Andrés; Uzcátegui Aylwin, Carlos EnriqueSe demuestran los teoremas clásicos de Ramsey y dos generalizaciones de estos conocidas como el teorema de Nash-Williams y el teorema de Galvin. Sean S un conjunto y p,r enteros positivos. Una coloración es una función c : [S]? > (1,...,r), donde [S]”representa el conjunto de los subconjuntos de p elementos de S. Decimos que un conjunto A € S es monocromáticoo homogéneo si se tiene que c es constante en [4]”. Cuando S es infinito, el teorema infinito de Ramsey nos diceque para toda coloración de [S]” existe un conjunto infinito A C S tal que A es monocromático. El teorema finitode Ramsey es un resultado similar para conjuntos finitos, y se prueba a partir del teorema infinito de Ramsey. Parala explicación del teorema finito de Ramsey se muestra la relación que existe entre las coloraciones de [5]? y las coloraciones de los segmentos de un grafo completo con n vértices, donde |S| =n. Probaremos que los teoremas de Galvin y Nash-Williams son generalizaciones del teorema infinito de Ramsey, esdecir, que se pueden probar estos teoremas a partir del teorema infinito de Ramsey. Los teoremas de Nash-Williamsy Galvin son resultados acerca de los conjuntos monocromáticos de una familia arbitraria .2 de subconjuntosfinitos de N. Para el teorema de Galvin, la definición de conjunto monocromático se altera de manera abrupta,pues esta no va a depender de ninguna coloración de .4, solo de la familia .7. Por lo tanto en este caso tiene más sentido utilizar el término homogéneo.Item Una introducción al uso de las funciones de base radial para resolver numéricamente ecuaciones diferenciales parciales(Universidad Industrial de Santander, 2021) Chávez Sánchez, Danna Katherine; Villamizar Roa, Elder Jesús; Sánchez Galvis, Iván JavierEste trabajo está relacionado con el análisis numérico de soluciones de ecuaciones diferenciales parciales mediante funciones de base radial. Este trabajo consta de tres partes fundamentales; el primerocorresponde a una revisión de definiciones y resultados preliminares sobre la interpolación conItem Sobre extensiones radicales simples y el teorema de Abel(Universidad Industrial de Santander, 2021) Suarez Porras, Edson Jair; Pinedo Tapia, Héctor EdonisUn problema asociado al Álgebra y especialmente a las ecuaciones de grado n, es la búsqueda de susraíces que, consiste en encontrar valores tal que al evaluarlos en dicha ecuación, da como resultado cero; y más aún,como obtener una fórmula para encontrar todas sus raíces. Si tal fórmula existe, se dice que la ecuación se puede resolver por radicales. Este trabajo se caracteriza por estudiar las ecuaciones de grado n > 5 y demostrar que dichas ecuaciones no tienensolución por radicales. En las primeras secciones se habla de grupos solubles y se recuerdan algunos resultados sobregrupos y cuerpos. Se estudian las extensiones radicales simples y los cuerpos intermedios que existen entre el cuerpoy su extensión radical. Se relaciona el grado de dichas extensiones intermedias con los divisores del grado de la exten- sión radical, a través del estudio de polinomios irreducibles en la extensión radical. En las últimas secciones se enuncian y se demostraran resultados sobre extensiones radicales y sobre el grupo Galoisde una ecuación general de grado n. Lo cual facilita la demostración del Teorema de Abel que nos dice: "La ecuación general de grado n no puede resolverse mediante radicales para n > 5".Item Secciones circulares de un cono con base cónica(Universidad Industrial de Santander, 2021) Hernández Galvis, Gustavo Adolfo; Pérez Fernández, Luis Angel; Acosta Gempeler, Martín EduardoEl objetivo de este trabajo es construir las secciones circulares de un cono de base cónica. Para ello, concebimos un cono recto ki de vértice S y base el círculo imaginario ci , cuya altura sea igual al radio de ci . Este cono da lugar a la siguiente propiedad: Todos los sistemas de ejes conjugados del cono ki son perpendiculares. Ahora, considere un cono k de vértice S y de base cónica c, las cónicas ci y c tienen un único triángulo UV W auto polar común. Luego, el cono k tiene un único sistema de ejes conjugados perpendiculares a través de los tres vértices del triángulo auto polar a ci y c. Por lo tanto, existe una involución desde un vértice del triángulo auto polar a ci y c que siempre es hiperbólica. Esto es, existe un par de rectas dobles que se cortan en un vértice del triángulo y son cuerdas comunes de las dos cónicas. A partir de estas rectas concluimos que: La involución determinada por los puntos conjugados es igual en las cónicas ci y c, siendo los puntos dobles, los puntos de intersección de ci y c. Así, cada uno de dos planos cíclicos del cono k estará determinado por el vértice S y una cuerda común a c y ci .Estos dos planos tienen la siguiente propiedad distintiva: Los planos paralelos a los planos cíclicos contienen la secciones circulares del cono k. Es decir, el problema se reduce a construir las cuerdas comunes de las cónicas ci y c.