Matemáticas
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Item Acerca de la constante de Euler Mascheroni(Universidad Industrial de Santander, 2022-11-15) Ortiz Flórez, Andrés Felipe; Reyes González, Edilberto José; Rincón Villamizar, Michael Alexander; Teherán Herrera, Arnoldo RafaelExisten constantes que son importantes por su aparición en el desarrollo de ciertas teorías e investigaciones; en el siglo XVII Euler descubrió la constante γ que actualmente es llamada “constante de Euler-Mascheroni”, esta aparece en múltiples ecuaciones y ramas de la matemática como análisis matemático, teoría de números y álgebra. El presente trabajo se enfoca en el estudio de los principales aspectos teóricos del número γ. En la primera parte se hace una presentación detallada de la construcción, interpretación geométrica y algunas apariciones de la constante de Euler-Mascheroni en matemáticas; además, se hace un estudio detallado de los principales resultados de combinatoria y sumas dobles necesarios para el capítulo 2. En la segunda parte, se realiza un estudio de la demostración de una proposición que da una condición necesaria y suficiente para que el número γ sea racional o irracional, además se presentan algunos resultados derivados de esta proposición.Item Acerca de la construcción del triángulo de Sierpinski(Universidad Industrial de Santander, 2015) Campo Romero, Álvaro Jesus; Sabogal Pedraza, Sonia MarleniEn pocas palabras, este trabajo de grado es, principalmente, el análisis de los artículos: “Sur une courbe dont tout point est un point de ramification”, [1], y “Acerca del triángulo de Sierpinski” ´ , [2]. Profundizando más, consta de tres capítulos llamados “Preliminares”, “Génesis” y “Plato Fuerte”. Primero, abordamos los conceptos previos con los que el lector debe estar familiarizado para tener un mejor entendimiento de lo que sigue. Se trata, de una forma concisa y sustanciosa, sobre espacios métricos, sucesiones, compacidad, conexidad, contracciones, entre otros. El segundo capítulo, basado en [1], es la presentación del triángulo de Sierpinski visto bajo ´ la lupa del gran matemático polaco Wacław Sierpinski, o sea, como una curva que es simul- ´ táneamente “cantoriana”, “jordaniana” y en la que cada uno de sus puntos, salvo tres, es de ramificación. Finalmente, en el último capítulo, hacemos un tratamiento moderno del triángulo de Sierpinski, enmarcados en el artículo [2]. Esto es, mediante las id ´ eas de sistema iterado de funciones y función de direccionamiento. Para esto, en las dos primeras secciones de este capítulo, proporcionamos los fundamentos de estos conceptos, y posteriormente demostramos algunos resultados importantes concernientes a nuestro fractal, no sin antes definirlo formalmente. Además, usando una caracterización a través de códigos de ciertos puntos del triángulo de Sierpinski, establecemos una propiedad de este fractal que result ´ a, en cierta forma, contraintuitiva.Item Adéles sobre el cuerpo de los números p-ádicos(Universidad Industrial de Santander, 2023-11-05) Pedraza, Manuel Fernando; Albarracín Mantilla, Adriana Alexandra; Pinedo Tapia, Hector Edonis; Granados Pinzón, Claudia InesEl el presente trabajo se mostrará la construcción del anillo de los adéles finitos, la cual se basa en la construcción del cuerpo de los números p-ádicos Q_{p}. El anillo finito de adéles A_{f} se define como el producto directo del cuerpo Q_{p} (Katok, 2007) sobre todos los números primos (finitos) con respecto al anillo de enteros p-ádicos Z_{p}. La construcción de este anillo se fundamenta en pegar todas las completaciones p-ádicas de los números racionales. Es decir: Sea Z_{p} el anillo de los enteros p-ádicos y Q_{p} el cuerpo de los números p-ádicos. Un adéle finito de Q, denotado por A_{Q, fin}=A_{fin} es el producto directo restringido de Q_{p} con respecto a Z_{p} (Aguilar-Arteaga et al., 2020). Esto es: A_{Q ,fin}=A_{f}={(a_{p})_{p en P} en \prod_{p en P} Q_{p}: a_{p} en Z_{p}, para casi todos los primos p en P}, donde P denota el conjunto de los números primos.Item Algebra max-plus y una aplicacion a los cuadrados latinos(Universidad Industrial de Santander, 2019) Palomino Niño, Lina Liceth; Isaacs Giraldo, Ragael FernandoEl álgebra máx-plus se define sobre el conjunto Rε = R∪ {−∞} dotado con las operaciones a⊕b = max´ {a,b} y a ⊗ b = a + b, estas operaciones son asociativas, conmutativas y distributivas. En este conjunto, el elemento neutro es ε = −∞ y el elemento unidad es e = 0. Con estas operaciones, Rε tiene estructura de semianillo que además es idempotente respecto a ⊕. En el primer capítulo se introducen algunos resultados preliminares sobre la teoría de grafos. En el segundo capítulo se presentan conceptos básicos y se estudian algunas propiedades algebraicas que satisfacen las operaciones ⊕ y ⊗ en el conjunto Rε . Se definen las matrices y vectores, se estudia la relación que existe entre los grafos y las matrices ya que, toda matriz cuadrada puede ser representada mediante un grafo ponderado y los pesos de los caminos de dicho grafo pueden ser interpretados mediante las potencias de la matriz ya mencionada, finalmente se hallan los valores y vectores propios de una matriz cuadrada por medio de su grafo asociado y se muestra que toda matriz irreducible tiene valor propio único. En el capítulo tres se definen los cuadrados latinos, se muestran algunas propiedades que satisfacen en el álgebra máx-plus como que todo cuadrado latino es una matriz irreducible y se halla su único valor propio con sus respectivos vectores propios asociados.Item Algunos resultados del análisis sobre el campo de los números p-adicos(Universidad Industrial de Santander, 2017) Suarez Garcia, Yesid; Reyes Gonzalez, Edilberto JoseEl campo de los números p-ádicos se puede obtener del campo de los números racionales a partir de un proceso de completación con respecto a una métrica inducida por la norma p-ádica, similar en muchos aspectos al valor absoluto usual, por tanto, a manera de introducción se presenta la completación de Q respecto a esta métrica, además de ciertas curiosidades topologicas del campo de los números p-ádicos. El manejo y la utilización de los números p-ádicos presenta una mayor di_x001C_cultad que el uso de los números reales, no obstante es posible el desarrollo de un análisis p-ádico con tratamiento de conceptos clásicos tales como sucesiones y series, series de potencias, continuidad, diferenciabilidad, funciones trascendentales, etc. Los resultados de este análisis p-ádico son más sencillos en algunos casos que el análisis sobre el campo de los números reales. Por tanto, en el segundo capítulo se intoducirán los conceptos de sucesiones y series en Qp, con el objetivo de presentar la versión p-ádica de las funciones exponencial y logarítmica. En el tercer capítulo se abordarán las nociones de continuidad y diferenciabilidad de funciones p-ádicas haciendo hincapié en las similitudes y diferencias que tienen con sus contrapartes reales, , por ejemplo, un resultado importante en el análisis real es el teorema del valor medio pero este no es cierto para funciones p-ádicas.Item Algunos resultados derivados del estudio de la sucesión de Fibonacci modulo m(Universidad Industrial de Santander, 2015) Gómez Espindola, Yzel Wlly Alay; Rodríguez Palma, Carlos ArturoUna de las sucesiones numéricas más conocidas e importantes es la sucesión de Fibonacci, la cual puede ser construida recursivamente a partir de dos elementos iniciales, F0 = 0, F1 = 1, mediante la ecuación de recurrencia Fn = Fn−1 + Fn−2 para todo n > 1. Se puede observar que la sucesión de Fibonacci cumple con fascinantes propiedades, una de ellas es que al considerar la sucesión de sus residuos módulo un entero positivo m, estos residuos aparecen de forma periódica. El documento está organizado en dos capítulos y seis apéndices. En el primer capítulo, se presentan algunos resultados obtenidos del estudio de las sucesiones de Fibonacci y de Lucas, del estudio de estas sucesiones módulo m, del estudio de la caracterización de un periodo simple de residuos en la sucesión de Fibonacci. También se mencionan algunos resultados de Residuos Cuadráticos y Símbolo de Legendre, necesarios para el desarrollo de la lectura. El segundo capítulo, se exhibe con lujo de detalles la prueba de los siguientes resultados: El mayor número de Lucas con más de dos cifras que es formado por solo un dígito es 11; y que el mayor número de Fibonacci con más de dos cifras que es formado por solo un dígito es 55. Este capítulo concluye con el análisis de los resultados obtenidos computacionalmente sobre la variación, en primer lugar, de los términos iniciales de una sucesión de Fibonacci generalizada, y en segundo lugar, de la base numérica en la que se expresan los números de la sucesión.Item Análisis de geodésicas principales sobre el espacio de las matrices de covarianza para la descripción de acciones en video(Universidad Industrial de Santander, 2021) Niño Campos, Santiago; Martínez Carrillo, Fabio; Galvis Casanova, Juan ManuelEn el análisis de video las matrices de covarianza han sido una forma compacta y robusta de representar acciones u actividades cotidianas, tales representaciones suelen ser redundantes y puedenser expresadas de una forma más compacta utilizando elementos característicos como su media ysus direcciones de mayor variación. El Análisis de Componentes Principales (ACP) es un proceso estadístico que permite reducir la dimensión de un conjunto de datos mediante proyecciones sobre lasdirecciones de mayor varianza, este proceso en espacios Euclidianos es de gran utilidad, sin embargo, en espacios curvos este método resulta ineficiente ya que tales direcciones no necesariamenteson lineales. En este trabajo se estudia el espacio de las matrices de covarianza formulado comouna variedad Riemanniana equipado de una métrica conocida como afín-invariante la cual nos otorga propiedades importantes y necesarias como la existencia y unicidad de geodésicas, a su vez seestudia desde un enfoque geométrico el ACP generalizando los conceptos de varianza, subvariedadgeodésica y proyección. Todo ello permite formular el análisis de geodésicas principales (AGP) comouna aproximación mediante el espacio tangente a la variedad, de allí se estudian dos algoritmos quecomputan este cálculo. De lo anterior se propone un descriptor dado por la concatenación de la media y las direcciones de mayor varianza mediante el uso de dos algoritmos: Fletcher y Yuchen. En elexperimento inicial se obtienen una exactitud del 67.79% para el algoritmo de Fletcher y un 68.84 % en el algoritmo de Yuchen, en este último se evidencia un menor número de componentes utilizadas.Item Análisis teórico de un modelo de ecuaciones diferenciales que describe la evolución del glioblastoma(Universidad Industrial de Santander, 2022-09-15) Chaparro Villamizar, Álvaro José; Villamizar Roa, Élder Jesús; Perez López, Jhean Eleison; Rueda Gómez, Diego ArmandoEl presente trabajo se enmarca dentro del área de las Ecuaciones Diferenciales, en el cual se estudia un modelo matemático conformado por un sistema no lineal acoplado de EDP-EDO, que describe la evolución espacio temporal del glioblastoma, relacionando las densidades del tumor, la necrosis, y la concentración vascular dentro del cerebro, y con condiciones de frontera de tipo Neumann sobre su frontera. El objetivo central de este trabajo consiste en analizar teóricamente la existencia de solución clásica y global del modelo, y propiedades de unicidad y positividad. Así mismo, se desarrollan algunas simulaciones numéricas basadas en el método de los elementos finitos para la aproximación espacial, y el método de diferencias finitas para la aproximación temporal, que permiten visualizar la aproximación de las soluciones y su dinámica respecto a la descripción física del modelo.Item Análisis teórico de un modelo estacionario de quimiotaxis con condiciones de frontera no homogéneas(Universidad Industrial de Santander, 2023-08-16) Carreño González, Julieth Daniela; Villamizar Roa, Élder Jesús; Rueda Gómez, Diego Armando; Pérez López, Jhean EleisonLa quimiotaxis es el fenómeno sensorial que describe la influencia de determinadas sustancias químicas, presentes en el medio ambiente, sobre las especies móviles. Este trabajo trata sobre un sistema estacionario no lineal de ecuaciones diferenciales parciales que describe el proceso biofísico conocido como quimioatracción, en el que el movimiento de organismos vivos en respuesta a un estímulo químico se da hacia mayores niveles concentración de la sustancia química. Asumimos que la señal química es consumida por los organismos y se consideran condiciones de frontera más realistas. El principal objetivo de este trabajo es analizar, desde un punto de vista teórico, la existencia y unicidad de soluciones clásicas al modelo estacionario. El contenido de este trabajo monográfico se basa en la referencia 1.Item Análisis teórico de un problema de control óptimo asociado a un modelo de campo de fase que describe la evolución de tumores cerebrales con efectos terapéuticos(Universidad Industrial de Santander, 2024-02-25) Forero Hernández, Juan José; Villamizar Roa, Élder Jesús; López Ríos, Juan Carlos; Rueda Gómez, Diego ArmandoEl presente trabajo estudia la existencia y unicidad de un modelo matemático compuesto por un sistema no lineal acoplado de ecuaciones diferenciales en derivadas parciales (EDP) que describe la evolución espacio-temporal de un tumor glioma con condiciones de frontera de tipo Neumann homogéneas. Asimismo, se demuestra la positividad de las variables y un principio del máximo para la variable del tumor. Además, se aborda un problema de control óptimo con el objetivo de determinar la dosis más efectiva de un fármaco citotóxico y una terapia antiangiogénica para combatir el tumor de manera óptima. En el trabajo se demuestra la existencia de solución óptima para el problema de control y se presentan condiciones necesarias de optimalidad de primer orden. Finalmente, se propone un esquema numérico para aproximar el problema de control basado en el método del mayor descenso, combinado con aproximaciones de las ecuaciones de estado y las ecuaciones adjuntas, basadas en el método de los elementos finitos y diferencias finitas para las discretizaciones espacial y temporal, respectivamente. Asimismo, se presentan algunas simulaciones realizadas mediante el software Freefem++. Estas simulaciones no solo respaldan la validez de los esquemas propuestos, sino que también proporcionan una visión práctica del comportamiento del modelo en diferentes escenarios.Item Análisis topológico de primitivas cinemáticas para la caracterización del Parkinson(Universidad Industrial de Santander, 2021) Castrillón Gamboa, Yessica Carolina; Martínez Carrillo, Fabio; Gomez Jaramillo, Francisco AlbeiroEsta investigación se centra en el Análisis Topológico de Datos (TDA), una herramienta matemática que permite estudiar la estructura topológica de una nube de puntos (datos) conel objetivo de encontrar “agujeros” k—dimensionales, a través de la homología persistente. Por mediode esta herramienta se propuso una metodología alternativa para la caracterización de la enfermedad de Parkinson (EP), modelando puntos k—dimensionales que representan la periodicidad durantela marcha de cada paciente. Inicialmente, se registran videos de personas control y pacientes con EPy se extraen trayectorias de movimientos. Cada trayectoria se caracteriza por su periodicidad usando SW1PerS (por sus siglas en ingles: Sliding Windows and 1-Persistence Scoringes). Entonces, unanálisis de homología persistente es realizado sobre los puntos de cada trayectoria, calculando índices topológicos que permiten medir características de predictibilidad. Esta metodología fue evaluadaen un conjunto de 22 pacientes (11 pacientes con la EP y 11 pacientes control). El índice topológicocon mayor capacidad de discriminación entre las dos poblaciones de pacientes es el basado en laperiodicidad con el método SW1PerS. En este sentido, se evidencia que los pacientes de párkinsony las personas control tienen diferencias estadísticamente significativas con respecto a los patronesde periodicidad definidos.Item Anillos de grupos torcidos artinianos(Universidad Industrial de Santander, 2017) Perez Carrillo, Jerson Enrique; Pinedo Tapia, Héctor EdonisSean R un anillo con unidad, G un grupo y θ un homomorfismo de grupos de G a Aut(R), donde el conjunto Aut(R) es el grupo de automorfismos de R. Con estos objetos definiremos su anillo de grupo torcido asociado R ∗θ G y demostraremos el Teorema de J. K. Park, el cual dice que el anillo R ∗θ G es artiniano si y solo si R es artiniano y G es finito. Para su demostraci´on ser´a muy importante el Teorema de Connell, ya que la demostraci´on se basar´a en aplicarlo repetidas veces. En el primer cap´ıtulo veremos el Lema de Zorn y mostraremos el porque nos resulta ´util, luego introduciremos el concepto de m´odulo y estudiaremos sus propiedades b´asicas ya que este concepto es la base de los dem´as cap´ıtulos. En el segundo cap´ıtulo nos centraremos en algunas propiedades estructurales de los anillos y los m´odulos, como lo son la simplicidad y semisimplicidad en m´odulos, estas propiedades nos permitir´an una facilidad al momento de estudiar los m´odulos, tambi´en los anillos primitivos y semiprimitivos, y por ´ultimo la propiedad que m´as nos interesa la cual es la condici´on de cadena descendente o condici´on de Artin. En el tercer cap´ıtulo damos paso a la construcci´on de los anillos de grupos torcidos, luego nos centraremos en probar propiedades de estos objetos relacionadas a la propiedad de ser artiniano, principalmente dos versiones del Teorema de J. K. Park con m´as hip´otesis y usandolos concluiremos con la demostraci´on del Teorema de J. K. Park.Item Aplicación del método "back and forth" de teoría de modelos a órdenes lineales y al grafo universal(Universidad Industrial de Santander, 2022-04-01) Barajas Rincón, Rosa Ximena; Isaacs Giraldo, Rafael Fernando; Holguín Villa, Alexander; Uzcátegui Aylwin, Carlos EnriqueDadas dos estructuras relaciones $(A,R)$ y $(B,S)$, isomorfas, el método \textit{"back and forth"}, de la teoría de modelos, nos permite construir una colección de isomorfismos parciales entre las dos estructuras, de tal manera que la unión de todos los isomorfismos de esa colección nos genera un ismorfismo total entre dichas estructuras. El método consiste en tomar subconjuntos finitos. $U_i \subseteq A$ y $V_i \subseteq V$, $i \in \mathbb{N}$, y crear correspondecias $f_i$, isomorfas entre $U_i$ y $V_i$, es decir, funciones biyectivas que además preserven orden, esto es, $x_i \preceq y_i \Leftrightarrow f(x_i) \preceq f(y_i)$. Iniciaremos presentando los conceptos y propiedades más relevantes sobre estructuras relacionales y órdenes en general, como el concepto de isomorfismo, que será ensencial al estudiar algunos resultados y propiedades entre órdenes lineales y grafos aleatorios no dirigidos. Luego, presentaremos la noción de lo que es la clase de los tipos de orden, las respectivas caracterizaciones de $\mathbb{N}$, $\mathbb{Z}$ y $\mathbb{Q}$, en que consiste el método \textit{"back and forth"} y su aplicación a los teoremas de Cantor; se mostrará por ejemplo que cualesquier dos órdenes lineales densos contables sin primeros ni últimos elementos son isomorfos haciendo uso del \textit{"back and forth"}, y para finalizar presentaremos el concepto de grafos aleatorios no dirigidos junto con la propiedad de extensión, muy crucial en esta parte, y el maravilloso grafo universal $\mathfrak{R}$; aquí describimos construcciones de $\mathfrak{R}$ y mostramos que cualesquier dos grafos contables infinitos no dirigidos son isomorfos, haciendo uso del \textit{"back and forth"}.Item Buenas graduaciones del anillo de matrices(Universidad Industrial de Santander, 2020) Orozco García, Laura Natalia; Pinedo Tapia, Hector EdonisEste trabajo consiste en estudiar las graduaciones del anillo de matrices, en particular nos concentraremos en cierto tipo de graduación, llamadas buenas graduaciones, en la que las matrices elementales ei; j, que son las matrices con 1 en la posición (i; j) y 0 en las demás posiciones, son elementos homogéneos. El objetivo de este trabajo es dar caracterizaciones a las buenas graduaciones que hacen que el álgebra de matrices sea un producto cruzado (ver Teorema 3.3.6) o un álgebra fuertemente graduada (ver Teorema 3.3.3). En el primer capítulo mencionaremos conceptos y resultados básicos de la teoría de módulos, entre estos resultados está una caracterización de las sucesiones cindes que será de utilidad para establecer resultados a lo largo de este trabajo. En el capítulo siguiente daremos los conceptos de anillos graduados y módulos graduados, además hablaremos del anillo de endomorfismos graduado el cual es de suma importancia para establecer las graduaciones del anillo de matrices. Para finalizar, en el último capítulo mostraremos en primer aspecto como a partir de las graduaciones del anillo de endomorfismos construimos las buenas graduaciones del álgebra de matrices y en segundo aspecto mostraremos resultados que podemos obtener a partir de las buenas graduaciones, como por ejemplo cuantas buenas graduaciones existen en un anillo graduado por un grupo finito.Item Cálculo de una media geométrica en el cono de las matrices simétricas semidefinidas positivas(Universidad Industrial de Santander, 2020) Olmos Rojas, Juan Andrés; Martínez Carrillo, Fabio; Galvis, Juan CarlosEn el área de la visión por computador, la descripción de videos a partir de matrices de covarianza ha sido usada como un descriptor compacto para el reconocimiento de acciones, esto pues un video puede ser descrito por la media de las matrices de covarianza que describen a cada una de las imágenes que componen el video. Las matrices de covarianza resultan ser matrices simétricas semi definidas positivas y regularizando pueden ser vistas como matrices simétricas definidas positivas (SPD), las cuales forman una variedad riemanniana. El problema geométrico es entonces encontrar una media en este espacio, este ha sido estudiado a partir de definir diferentes métricas y con ellas plantear diferentes algoritmos para el cálculo de la media. En este proyecto se desarrolla una descripción matemática de este espacio mediante definiciones, construcciones y ejemplos de baja dimensión para tener una noción más clara del problema y posteriormente llevarlo a la práctica. Además, se plantean dos algoritmos: usando autovalores generalizados y otro haciendo una descomposición de Cholesky, esto con el fin de poder comparar teórica y computacionalmente los diferentes algoritmos existentes y los nuestros en problemas reales. Utilizando un conjunto de datos públicos de reconocimiento de acciones, se compararon 4 algoritmos para el cálculo de la media junto a los dos propuestos. El algoritmo propuesto, con autovalores generalizados, logró una exactitud del 69.95 %. Además, en experimentos complementarios con generadores aleatorios de matrices SPD, se evidenció una convergencia más rápida para el algoritmo Log-Euclidean.Item Caracterización de grupos cuyos subgrupos tienen distinto cardinal(Universidad Industrial de Santander, 2018) Villamizar Tarazona, Andres Yamith; Pinedo Tapia, Hector EdonisDado un grupo c´ıclico finito G y un entero positivo d que divide al orden de G, entonces G tiene un ´unico subgrupo de orden d ([13] p.1 ). Esta propiedad se generaliza para un grupo arbitrario diciendo que ´el tiene la Propiedad (D) si distintos subgrupos de G tienen distinto cardinal. Este trabajo se enfoca en realizar un estudio detallado de la propiedad descrita anteriormente. Se quieren dar condiciones necesarias y suficientes para grupos G con este atributo. En el primer cap´ıtulo se retoman ciertos resultados b´asicos de teor´ıa de conjuntos, teor´ıa de n´umeros y teor´ıa de grupos que son fundamentales para dar contexto al problema, y m´as que esto obtener herramientas ´utiles para llegar a una conclusi´on interesante. En el segundo cap´ıtulo se aborda un poco la teor´ıa de grupos abelianos con el Grupo de Pr¨ufer y sus principales caracter´ısticas, que ser´an una pieza clave para el desarrollo de este trabajo. Tambi´en se estudia la teor´ıa de grupos finitos dando algunos resultados necesarios para introducir formalmente la Propiedad (D); luego de esto se demuestran los teoremas principales, que naturalmente est´an ligados a nuestra propiedad y finalmente damos una caracterizaci´on de todos los grupos que verifican la propiedad. En el tercer cap´ıtulo se profundiza un poco mas la Propiedad (D), estudiando y analizando ciertas proposiciones de manera un´ıvoca y mostrando determinados contraejemplos.Item Códigos cíclicos LRC-LCD(Universidad Industrial de Santander, 2023-11-08) Rodríguez Cáceres, Yiseth Karina; Olaya León, Wilson; Bueno Carreño, Diana Haidive; Rodríguez Palma, Carlos Arturo; Holguín Villa, AlexanderEn el contexto actual, donde la teoría de la información y los medios digitales están en constante evolución, se enfrentan desafíos cruciales, como garantizar la integridad y confidencialidad de los datos sensibles, así como gestionar eficientemente grandes volúmenes de información. La aplicación de códigos correctores de errores emerge como una herramienta esencial para abordar estos desafíos. Este trabajo se enfoca en los códigos cíclicos localmente recuperables (LRC) y códigos cíclicos duales complementarios (LCD), presentando una combinación estratégica de ambos. Estos códigos no solo corrigen errores en la transmisión de datos, sino que también desempeñan un papel crucial en la protección de datos sensibles, utilizando técnicas como el enmascaramiento de datos. Además, se exploran aplicaciones prácticas en almacenamiento distribuido y se destaca la implementación en SageMath para la construcción y análisis de propiedades específicas de los códigos lineales. En específico, esta investigación se centra en códigos cíclicos que posean propiedades tanto de ser códigos lineales localmente recuperables (LRC) como códigos lineales duales complementarios (LCD).Item Códigos usando divisores de cero y unidades de anillos de grupo(Universidad Industrial de Santander, 2018) Suarez Porras, Oscar Andres; Holguin Villa, AlexanderEstudiaremos la construcci´on de c´odigos a trav´es de codificaciones de anillos de grupo (RG), usando un subm´odulo W de RG; los cuales consisten principalmente en dos tipos: c´odigos divisores de cero y derivados de unidad. En el cap´ıtulo 1 ser´an mostrados algunas definiciones b´asicas y resultados obtenidos de la teor´ıa de grupos, anillos y ´algebras de grupo, necesarios. En el cap´ıtulo 2 mostraremos la estructura de los anillos de grupo, y veremos que un anillo de grupo RG es isomorfo a un determinado anillo de matrices de n × n sobre R, que notaremos por MRG(R), as´ı, cada elemento en RG tiene exactamente una matriz asociada llamada RG-matriz, esto nos facilitara la demostraci´on de teoremas, corolarios y lemas aqu´ı mencionados. Finalmente en los cap´ıtulos 3 y 4 mostraremos la forma de los c´odigos divisores de cero y derivados de unidad. Estableceremos en primer lugar, la dimensi´on de los c´odigos divisores de cero y derivados de unidad, que depender´a del subm´odulo W usado en la codificaci´on, el cual en el caso de los c´odigos divisores de cero tendr´a alguna restricci´on. Por otra parte, la forma usual del c´odigo dual para los c´odigos ya mencionados. Y por ´ultimo, las condiciones para que los c´odigos divisores de cero y derivados de unidad sean auto-duales.Item Complementación en el retículo de topologías de Alexandroff(Universidad Industrial de Santander, 2024-05-04) Martínez Díaz, Andrea; Uzcátegui Aylwin, Carlos Enrique; Pinedo Tapia, Hector Edonis; Camargo García, Javier EnriqueUn retículo L es un conjunto ordenado en el cual, para cualquier par de elementos, existe el supremo e ínfimo. Además, se dice que es un retículo complementado si, para cada elemento x en el retículo, existe y tal que el supremo e ínfimo de estos son el elemento máximo y el elemento mínimo del retículo, respectivamente. En este trabajo, se estudian algunos retículos complementados, en particular, A(X) el retículo de las topologías de Alexandroff, y CO(X) el retículo de los cuasiordenes sobre X. Se demuestra que estos son retículos isomorfos y se utiliza en la prueba de que A(X) es complementado. También presentamos un resultado obtenido por Menix y Richmond sobre un tipo especial de topologías de Alexandroff, FA(X) las topologías primales sobre X.Item Composiciones enteras y sus aplicaciones(Universidad Industrial de Santander, 2021) Mantilla Rozo, Jazmin Liseth; Olaya León, WilsonEn este trabajo se hace un estudio de la teoría de composiciones de números enteros y su aplicacióna los autómatas. En el primer capítulo se introducen los conceptos básicos de composiciones. Enparticular, se muestran las composiciones con restricciones en el conjunto de las partes mostrandola conexión que existe entre este tipo de composiciones y los números generalizados de Fibonacci(o k-bonacci). También se estudian composiciones palíndromas y de Carlitz, las cuales se obtienenal restringir la ubicación de las partes y finalmente, composiciones n-coloreadas, estas son unageneralización de las composiciones clásicas y se obtienen al colorear las partes de la composicióncon colores diferentes. Durante el desarrollo de este capítulo se muestran códigos en sagemathpara obtener cada uno de estos tipos de composiciones. Posteriormente, en el segundo capítulo seintroduce la noción de función generatriz y de método simbólico, este método utiliza los gráficos debarras asociados a las composiciones para hallar sus respectivas funciones generatrices. Por último,en el tercer capítulo se establece una aplicación de las composiciones a los autómatas finitos paradefinir secuencias recursivamente y luego expresar las estructuras recursivas en un grafo asociado.Además en la sección 3.2, se incluyen algunos resultados obtenidos durante el desarrollo de este trabajo sobre composiciones superdiagonal y composiciones d-superdiagonal.