Matemáticas

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Sobre conjuntos realización de sucesiones
(Universidad Industrial de Santander, 2013) Rojas Gómez, Jorge Andres; Reyes G., Edilberto Jose
En la teoría de la series infinitas hay dos resultados muy conocidos. El primero afirma que hacer reordenamientos de una serie absolutamente convergente no afecta su valor de convergencia. El segundo afirma que los términos de una serie condicionalmente convergente pueden ser reordenados de manera que la serie o converge a un número real específico o diverge a +00. En esta monografía se considera hacer omisiones de términos en vez de reordenamientos. Más precisamente, se dice que r € R es “realizado” por una sucesión real (x,) si existe una subsucesión de (+,) finita o infinita cuya suma converge a r. El contenido de esta monografía se basa principalmente en una revisión bibliográfica del artículo [ El presente trabajo ha sido organizado de la siguiente manera: En el primer capítulo, se inicia con un breve resumen sobre el teorema de reordenación de Riemann acompañado con algunos resultados importantes para este trabajo. Luego se define formalmente lo que es un conjunto realización de una sucesión real; además se presentan los primeros resultados acerca de estos conjuntos, destacándose dos resultados: el primero es una condición suficiente para garantizar que un conjunto realización es un intervalo; el otro es una condición suficiente para garantizar que un conjunto realización es un conjunto
La topología de compacto-abierto
(Universidad Industrial de Santander, 2014) Mejia Caviedes, Melany Dayana; Sabogal Pedraza, Sonia Marleni
En el desarrollo del presente trabajo, se realizará un estudio detallado y sistemático de la llamada Topología de compacto-abierto en espacios de funciones, cuya motivación inicia con el estudio de los espacios métricos, los espacios topológicos y las aplicaciones continuas entre dos espacios topológicos. Para nuestro propósito hemos organizado el trabajo en cuatro capítulos. En el primer capítulo, titulado Preliminares, se establecen algunos conceptos y resultados conocidos, que se necesitarán en el desarrollo de los capítulos posteriores. En el segundo capítulo que titulamos La Topología de Compacto-Abierto y que constituye el capítulo central del trabajo, encontramos la definición de topología de compacto-abierto que se denota por c-topología, algunos ejemplos que ilustran las propiedades y los resultados más importantes que se fueron estudiando en el transcurso del trabajo. El hecho más importante de la c-topología está referenciado en este capítulo (Teorema 2.3.1), al igual que un análisis del artículo [4] y los resultados obtenidos por Ralph H. Fox en [3]. El tercer capítulo, titulado Otras Topologías sobre Espacios de Funciones, incluye la convergencia secuencial y la convergencia punto a punto, algunos resultados importantes donde se hacen algunas comparaciones entre la topología compacto-abierto y estas otras topologías definidas en el espacio En el cuarto y último capítulo presentamos algunas conclusiones y tareas pendientes que surgieron a través del transcurso de nuestro trabajo. Cabe anotar aquí que dentro del desarrollo del trabajo, pudimos obtener algunos pequeños aportes y escribimos algunas demostraciones que no aparecían en los textos consultados Finalmente, pensamos que el análisis hecho aquí es útil para estudiantes de la carrera de Matemáticas y de Licenciatura en Matemáticas tanto de pregrado como de maestría que puedan estar interesados en conocer este tema y esperamos que las tareas pendientes puedan servir como tema de otros trabajos.
La conjetura de poincare
(Universidad Industrial de Santander, 2014) Baez Acevedo, Jhoan Sebastian; Pinzón Duran, Sofia
La conjetura de Poincaré por más de 100 años ha sido un inconveniente para los matemáticos, más aun con los que trabajan temas relacionados con geometría. Tal es su importancia que todo aquel que ha conseguido algún avance en la conjetura recibió la medalla Fields, así como muchos matemáticos de prestigio han fracasado. La conjetura de Poincaré es tan importante que hacia parte de la selecta lista de los problemas del milenio y es el único de estos problemas que se ha solucionado. Este trabajo consiste en estudiar los conceptos básicos que acompañan el planteamiento de la conjetura de Poincaré en su versión generalizada, su desarrollo histórico y analizar el caso en dimensión 3. Para ello estudiaremos resultados clásicos de topología, topología algebraica y álgebra moderna. Así mismo pretendemos estudiar las equivalencias geométricas, topológicas y algebraicas de la conjetura de Poincaré y presentar algunos de los resultados geométricos y topológicos que se obtuvieron al tratar de demostrar la conjetura. Para este trabajo fueron necesarios conceptos de geometría Riemanniana, sobre todo para entender en qué consiste la geometrización de la conjetura cuya solución garantiza la veracidad de la conjetura propuesta por Poincaré. Además, pretendemos dar una visión de algunos de los avances de la obra maestra de Perelmán que lo llevaron a convertirse en la celebridad del momento en el mundo de la matemática.
Unicoherencia en continuos
(Universidad Industrial de Santander, 2014) Nova González, Jayson Heli; Camargo García, Javier Enrique
Un continuo es un espacio métrico, compacto, conexo y diferente del vacío. Un continuo se dice unicoherente si siempre que donde y son subcontinuos de , entonces es conexo. Un intervalo cerrado, una -celda [ ] y las esferas son ejemplos de continuos unicoherentes. Por otro lado, el continuo no es unicoherente. Además, un continuo se dice herereditariamente unicoherente si cada uno de sus subcontinuos es unicoherente. Esta monografía está enfocada a estudiar la unicoherencia en continuos, también aspectos particulares como: preservar la unicoherencia por funciones continuas, límites inversos y productos. Y caracterizar los continuos unicoherentes y localmente conexos. Esta monografía está dividida en tres capítulos distribuidos de la siguiente manera: En el primer capítulo, se dan herramientas para construir continuos; las intersecciones anidadas de continuos, el producto de continuos y el límite inverso de una sucesión inversa de continuos. También, se darán definiciones como continuos indescomponible y algunos tipos de funciones continuas entre continuos. En el segundo capítulo, se da definición y ejemplos de continuos unicoherentes y hereditariamente unicoherentes, además, veremos que el producto de dos continuos unicoherentes no es necesariamente unicoherente. En el tercer capítulo, presentamos la definición de función inesencial y función con logaritmo continuo, se estudiaran algunas propiedades de estas clases de funciones. Después, mostramos la relación que hay entre la unicoherencia, las funciones inesenciales y las funciones con logaritmo continuo, en continuos localmente conexos. Para terminar, estudiamos la unicoherencia en continuos localmente conexos.
Una introducción a la ecuación de Schrodinger
(Universidad Industrial de Santander, 2015) López Agredo, Jorge Leonardo; Villamizar Roa, Elder Jesús
La ecuación de Schr¨odinger, tanto lineal como no lineal, es uno de los modelos de Ecuaciones Diferenciales Parciales de mayor relevancia en la Física Matemática, no solo por el análisis matemático que involucra su estudio y el número de problemas abiertos que aún persisten, sino que también, por la cantidad de aplicaciones que posee. El presente trabajo tiene como objetivo presentar algunas nociones históricas de la Mecánica Cuántica, que dieron origen a la ecuación de Schr¨odinger lineal, comentando las ideas que llevaron a plantear la cuantización de la energía y la luz descritas por Planck y Einstein respectivamente, siendo estas, de gran importancia en el desarrollo de la ecuación de Schr¨odinger (lineal). Así mismo, se presenta algunas ideas físicas (desde el punto de vista de la óptica no lineal) que justifican el modelo de Schr¨odinger no lineal. Desde el punto de vista matemático, en primer lugar se analiza la existencia de solución al problema lineal, de la ecuación de Schr¨odinger vía Análisis de Fourier. Finalmente, se prueba un resultado de existencia y unicidad de la solución en L 2 (R n), para el caso subcrítico, al problema no lineal, con no linealidad de la forma |u| α−1u, α > 1, basadas en el Principio de las contracciones de Banach.
Algunos resultados derivados del estudio de la sucesión de Fibonacci modulo m
(Universidad Industrial de Santander, 2015) Gómez Espindola, Yzel Wlly Alay; Rodríguez Palma, Carlos Arturo
Una de las sucesiones numéricas más conocidas e importantes es la sucesión de Fibonacci, la cual puede ser construida recursivamente a partir de dos elementos iniciales, F0 = 0, F1 = 1, mediante la ecuación de recurrencia Fn = Fn−1 + Fn−2 para todo n > 1. Se puede observar que la sucesión de Fibonacci cumple con fascinantes propiedades, una de ellas es que al considerar la sucesión de sus residuos módulo un entero positivo m, estos residuos aparecen de forma periódica. El documento está organizado en dos capítulos y seis apéndices. En el primer capítulo, se presentan algunos resultados obtenidos del estudio de las sucesiones de Fibonacci y de Lucas, del estudio de estas sucesiones módulo m, del estudio de la caracterización de un periodo simple de residuos en la sucesión de Fibonacci. También se mencionan algunos resultados de Residuos Cuadráticos y Símbolo de Legendre, necesarios para el desarrollo de la lectura. El segundo capítulo, se exhibe con lujo de detalles la prueba de los siguientes resultados: El mayor número de Lucas con más de dos cifras que es formado por solo un dígito es 11; y que el mayor número de Fibonacci con más de dos cifras que es formado por solo un dígito es 55. Este capítulo concluye con el análisis de los resultados obtenidos computacionalmente sobre la variación, en primer lugar, de los términos iniciales de una sucesión de Fibonacci generalizada, y en segundo lugar, de la base numérica en la que se expresan los números de la sucesión.
Introducción a los números p-adicos y análisis p-adico
(Universidad Industrial de Santander, 2015) Maldonado Guerrero, Deyanira; Reyes González, Edilberto Jose
Como se conoce del análisis clásico es posible construir el cuerpo R que complete al cuerpo de los números racionales, usando sucesiones de Cauchy de números racionales, a partir del valor absoluto euclidiano. Sin embargo, la de_x001C_nición de una sucesión de Cauchy depende de la métrica elegida, entonces si se usa un concepto distinto de distancia en Q, se obtendrá otro cuerpo distinto a R, para esto se tomará una nueva noción de distancia llamada norma p-ádica para un primo p que permite construir el cuerpo de los números p-ádicos Qp como la completación de Q con dicha norma. El cuerpo de los números p-ádicos posee entonces la propiedad de completitud, y por tanto al igual que R, contiene a Q como subconjunto denso y esto permite el desarrollo del Análisis p-ádico, similar al Análisis Real. Además el hecho de que esta nueva norma cumple una propiedad llamada no-arquimediana, introduce ciertas diferencias respecto al caso real. Quizás la más importante de tales diferencias es el hecho de que en un contexto no-arquimediano se tiene una nueva caracterización de las sucesiones de Cauchy y esto proporcionará diferencias en cuanto a convergencia respecto del caso real y además esta propiedad añade ciertas curiosidades topológicas al conjunto de los números p-ádicos.
La función t de jones: propiedades y aplicaciones
(Universidad Industrial de Santander, 2015) Castellanos Calderón, Ruben Alveiro; Camargo García, Javier Enrique
Un continuo es un espacio métrico compacto, conexo y no vacío. La Teoría de continuos es la rama de la topología que estudia los espacios métricos compactos y conexos; espacios llamados continuos. A finales de los años 30, el profesor Burton Jones define la función T : P(X) → P(X) como el subconjunto de X tal que: X \ T (A) = {x ∈ X : existe un subcontinuo K de X tal que x ∈ K◦ y K ∩ A = ∅}, para cada A ∈ P(X). Esta función se le llama función T de Jones. Este trabajo muestra el comportamiento de la función T en clases de continuos, caracterizando algunos de ellos. Además, se muestran propiedades de la función T como la T -simetría y T -aditividad, las cuales se presentan de manera natural siempre que tenemos un operador con las características de la función T de Jones. Consideramos importante resaltar que se presentan demostraciones alternativas de resultados clásicos de Teoría de continuos usando la función T . De esta forma planteamos la función T como una herramienta para abordar problemas en topología, particularmente en Teoría de continuos.
Espacios de banach de funciones continuas y algebras de banach
(Universidad Industrial de Santander, 2015) Gómez Tarazona, Raul Armando; Paternina Salguedo, Ronald Eduardo
El contenido de este trabajo se basa principalmente en mostrar algunas técnicas fundamentales de la teoría de espacios de Banach de funciones continuas y de la teoría de las álgebras de Banach vistas en [2] para obtener un criterio que verifique si un álgebra de Banach A es un espacio C (K) y un método para saber cuándo un espacio C (K) es un espacio isométricamente inyectivo. El presente trabajo lo hemos organizado de la siguiente manera. En el primer capítulo, se inicia dando un resumen sobre las principales definiciones y resultados relacionados a los espacios de Banach que serán utilizados en el desarrollo del trabajo incluyendo teoremas de Hahn-Banach, Banach-Steinhaus, Krein-Milman y Alaoglu. Luego se presentan algunos conceptos relativos a los conjuntos parcialmente ordenados junto con el Lema de Zorn. El capítulo termina definiendo las álgebras y subálgebras y con ello se destaca un gran resultado de Stone-Weierstrass. En el segundo capítulo presentamos algunas propiedades de las álgebras de Banach y de los homomorfismos definidos sobre álgebras de Banach y demostramos que un álgebra de Banach real conmutativa A con identidad, es isométricamente isomorfa a un espacio C (K) para algún espacio Hausdorff compacto K si se satisface una desigualdad con la norma respecto a A. Este hecho fue probado por Albiac y Kalton y da por lo tanto un criterio para verificar si un álgebra de Banach real es un espacio C (K). Finalmente, en el tercer capítulo presentamos algunos resultados relacionados con las aplicaciones sublineales y el orden-completo en espacios C (K) y demostramos que si K es un espacio de Hausdorff compacto, una condición necesaria y suficiente para que el espacio de Banach C (K) sea un espacio isométricamente inyectivo, es que el espacio C (K) tenga un orden completo, el cual es un resultado conocido como el Teorema de Goodner-Nachbin.
Sobre la propiedad de midy
(Universidad Industrial de Santander, 2015) Cala Baron, Juan Camilo; Rodríguez Palma, Carlos Arturo
Sean p un número primo y e el orden de 10 módulo p, es decir, e = ordp(10). Es sabido que la fracción 1/p es periódica con periodo de longitud e. E. Midy demostró que si 1/p tiene periodo de longitud par e = 2k, para algún entero positivo k, y 1/p = 0.a1a2 · · · ae, donde cada ai es un dígito, entonces ai+ak+i = 9 para i = 1, 2, . . . , k. En otras palabras, si el periodo se divide en dos mitades, su suma es igual a 10k − 1, una cadena de k nueves. Este resultado se conoce como el Teorema de Midy. En este trabajo, el interés principal es el problema general que se desprende del Teorema de Midy. Dados los enteros n y una base numérica B > 1 con n y B primos relativos, la fracción x/n, donde x ∈ Un, es periódica en la escala de B con periodo de longitud e = ordn(B). Si e = dk, para algún par de enteros d > 1 y k, el periodo puede dividirse en d bloques cada uno de k dígitos. Si la suma de estos bloques es un múltiplo de Bk −1 para cada elemento x ∈ Un, se dirá que n tiene la propiedad de Midy para el divisor d de e y la base B, y se escribirá esto por n ∈ Md(B).
El anillo de los enteros algebraicos y dominios de dedekind
(Universidad Industrial de Santander, 2015) Gómez Rios, Jorge Eliecer; Pinedo Tapia, Héctor Edonis
La teoría de los números algebraicos se desarrolló en gran parte gracias al Último Teorema de Fermat. Varios matemáticos importantes del siglo XIX, entusiasmados por encontrar la prueba de este teorema (que para entonces era una conjetura), contribuyeron para que la teoría algebraica de números se consolidara como una rama importante de las matemáticas. Este trabajo consiste en estudiar algunos conceptos y resultados de la teoría de los enteros algebraicos. En el primer capítulo se retoman algunos conceptos y resultados clásicos sobre anillos y cuerpos, necesarios para el buen entendimiento de lo expuesto en los siguientes dos capítulos. En el segundo capítulo se prueba que los enteros de un cuerpo L sobre un anillo R, es decir, aquellos elementos en L que son raíz de un polinomio mónico en R[X] forman un anillo en el que no necesariamente vale la factorización única. Sin embargo, se muestran algunos ejemplos de cuerpos numéricos, en los que su anillo de enteros es un dominio de factorización única, por ejemplo el anillo de los enteros de Gauss Z[i] y se usa este hecho para solucionar algunas ecuaciones diofánticas. En el tercer capítulo, se definen y caracterizan los dominios de Dedekind en términos de la factorización única de ideales y en estos términos, se prueba que el anillo de los enteros de un cuerpo es un dominio en el que todo ideal propio se expresa de manera única como producto de ideales primos
Acerca de la construcción del triángulo de Sierpinski
(Universidad Industrial de Santander, 2015) Campo Romero, Álvaro Jesus; Sabogal Pedraza, Sonia Marleni
En pocas palabras, este trabajo de grado es, principalmente, el análisis de los artículos: “Sur une courbe dont tout point est un point de ramification”, [1], y “Acerca del triángulo de Sierpinski” ´ , [2]. Profundizando más, consta de tres capítulos llamados “Preliminares”, “Génesis” y “Plato Fuerte”. Primero, abordamos los conceptos previos con los que el lector debe estar familiarizado para tener un mejor entendimiento de lo que sigue. Se trata, de una forma concisa y sustanciosa, sobre espacios métricos, sucesiones, compacidad, conexidad, contracciones, entre otros. El segundo capítulo, basado en [1], es la presentación del triángulo de Sierpinski visto bajo ´ la lupa del gran matemático polaco Wacław Sierpinski, o sea, como una curva que es simul- ´ táneamente “cantoriana”, “jordaniana” y en la que cada uno de sus puntos, salvo tres, es de ramificación. Finalmente, en el último capítulo, hacemos un tratamiento moderno del triángulo de Sierpinski, enmarcados en el artículo [2]. Esto es, mediante las id ´ eas de sistema iterado de funciones y función de direccionamiento. Para esto, en las dos primeras secciones de este capítulo, proporcionamos los fundamentos de estos conceptos, y posteriormente demostramos algunos resultados importantes concernientes a nuestro fractal, no sin antes definirlo formalmente. Además, usando una caracterización a través de códigos de ciertos puntos del triángulo de Sierpinski, establecemos una propiedad de este fractal que result ´ a, en cierta forma, contraintuitiva.
Sobre grupos divisibles e isomorfismos relacionados
(Universidad Industrial de Santander, 2015) Cañas Pérez, Andrés Sebastian; Pinedo Tapia, Héctor Edonis
Dado un grupo podemos definir la multiplicación por números enteros. Así, la teoría de los grupos divisible surge para darle solución a la duda de si es posible definir una división por números enteros en los grupos, creando la estructura de grupos divisibles. Este trabajo consiste en estudiar algunos conceptos y resultados de los grupos divisibles. En el primer capítulo se retoman algunas definiciones y resultados clásicos sobre la teoría de conjuntos, álgebra lineal, teoría de grupos y teoría de módulos, que serán importantes para el resto del trabajo. En el segundo capítulo se estudian resultados de los grupos de torsión y los grupos pprimarios para luego introducir por primera vez la definición de grupos divisibles. Gracias a los grupos de torsión se obtiene una identidad de los grupos divisibles que nos dice que podemos escribirlos como una suma directa de grupos de torsión y libres de torsión, esta es importante para la última sección de este capítulo donde se prueba el teorema que provee las condiciones para que dos grupos divisibles sean isomorfos. En el tercer capítulo, vamos a utilizar el teorema anteriormente mencionado para mostrar que varios grupos divisibles son isomorfos.
El problema de Frobenius en el caso n=2y algunos métodos para el caso n=3
(Universidad Industrial de Santander, 2015) Soler Porras, Yerly Vanesa; Rodríguez Palma, Carlos Arturo
Un problema asociado a la Teoría de Números y especialmente a las ecuaciones diofánticas, es el problema de Frobenius, el cual consiste en tomar una cantidad finita de números enteros positivos que sean primos relativos, y encontrar el mayor entero positivo que no puede expresarse como combinación lineal (con coeficientes enteros no negativos) de dichos números; el número que se desea encontrar recibe el nombre de número de Frobenius. Este trabajo se caracteriza por estudiar el problema de Frobenius en el caso n = 2 y algunos métodos en el caso n = 3. En el primer capítulo se recordarán algunos conceptos y resultados clásicos sobre divisibilidad, congruencias y fracciones continuas en los enteros, pues son necesarios para el desarrollo del siguiente capítulo. En el segundo capítulo se prueba la existencia del número de Frobenius en el caso general, se da una fórmula explícita para hallar el número de Frobenius y otros resultado asociados al problema en el caso n = 2. Se demuestran algunos resultados importantes en el caso general, pues se usarán después, para calcular el número de Frobenius en el caso n = 3 por medio de los métodos de Hofmeister, Selmer y Beyer, y Rödseth.
Un estudio sistemático del teorema de Tychonoff
(Universidad Industrial de Santander, 2016) Quintanilla Gonzalez, Brayan Gersain; Sabogal Pedraza, Sonia Marleni
El objetivo central de este trabajo es realizar un estudio sistemático del teorema de Tychonoff, analizando distintas demostraciones del teorema, que surgieron al pasar el tiempo, y mostrando además su equivalencia con el axioma de elección. Presentamos distintas demostraciones del teorema objeto de estudio de nuestro trabajo. Dichas demostraciones hacen uso de distintas “herramientas”. Hacemos además un análisis a la publicación de J. L. Kelley [5], en la que “demuestra” la equivalencia del teorema de Tychonoff y el axioma de elección. Kelley comete un peque˜no error en su prueba, el cuál es mencionado en [7], pero hasta el a˜no 2003, Sangho Kum [6] lo corrige y publica. Por otra parte, encontramos el artículo [10] de J. A. Pérez, en el cual el autor pretende demostrar que el teorema de los productos conexos, es equivalente al teorema de Tychonoff y por tanto al axioma de elección. Sin embargo al estudiar dicho artículo encontramos un error en la demostración del teorema principal. En este íltimo capítulo presentamos un resumen de lo ocurrido en torno a esta situación. Esperamos que este trabajo de tesis sea de interés y utilidad para estudiantes de matemáticas, de licenciatura en matemáticas y en general para cualquier lector interesado en el tema.
Semigrupos inversos y acciones parciales
(Universidad Industrial de Santander, 2016) Gonzalez Barbosa, Ana Maria; Pineda Tapia, Hector Edonis
Dado un grupo G, el matemático brasilero Ruy Exel construyó en 1998 un semigrupo inverso denotado S(G) con el cual existe una correspondencia biunívoca entre acciones parciales de G y las acciones de S(G). Las acciones parciales,también conocidas como preacciones, aparecieron como herramientas para solucionar ciertos tipos de ecuaciones diferenciales, y pronto se introdujeron en diversas áreas de la matemática como la geometría diferencial, lógica y combinatoria. Este trabajo consiste en estudiar algunos conceptos y definiciones sobre semigrupos inversos y las acciones parciales de grupos. En el primer capítulo se abordarán algunas definiciones de la teoría de semigrupos como las congruencias, presentaciones, semigrupos libres y semigrupos inversos; en estos íltimos, se estudiarán El semigrupo simétrico I(X) y La expansión de Birget-Rhodes, los cuales son base para el desarrollo de los siguientes capítulos. En el segundo capítulo se definirá el semigrupo de Exel construido a partir de un grupo G, sus propiedades y se probará que este es un semigrupo inverso. En el tercer capítulo se introduce las acciones de grupos y las acciones parciales de grupos en un conjunto X, además de algunos ejemplos; veremos su correspondencia con las acciones del semigrupo inverso S(G) en este mismo conjunto X.
Unicoherencia débil en continuos
(Universidad Industrial de Santander, 2016) Ardila Rueda, Fredy Giovanny; Camargo García, Javier Enrique
Nuestro trabajo se basa en el estudio de espacios continuos. Un continuo es un espacio métrico, compacto, conexo y diferente del vacío. El estudio de estos espacios, se concentra en identificar propiedades importantes en ellos, como es el caso de la unicoherencia en continuos. Un continuo es unicoherente, si al verlo como la unión de dos subcontinuos, se tiene que la intersección de los dos subcontinuos es conexa. Un continuo es débilmente unicoherente, si al verlo como la unión de dos subcontinuos tales que la intersección de los dos subcontinuos tiene interior diferente de vacío, se tiene que la intersección de los dos subcontinuos es conexa. Un arco es un continuo débilmente unicoherente, mientras que una curva cerrada simple no lo es.
Teoría de códigos & algebras de grupo
(Universidad Industrial de Santander, 2016) Barajas Avila, Gerson Leonel; Holguin Villa, Alexander; Rodriguez Palma, Carlos Arturo
Estudiaremos la construcción de códigos sobre álgebras de grupo FG de un grupo G sobre un cuerpo F. En particular, consideraremos F un cuerpo finito de q elementos y G un grupo finito tal que mcd(q, |G|) = 1, para que FG sea semisimple, pues siendo semisimple todo código en FG es un ideal y todo ideal de FG es de la forma FGe, donde e es un elementos idempotente, es decir, todo ideal es generado por un elemento idempotente. Por lo tanto, nos concentraremos en la construcción de dichos elementos. Además, si G es un grupo cíclico los códigos serán cíclicos y si Ges abeliano los códigos serán abelianos. Por medio de los resultados obtenidos por Raul Ferraz y Cesar Polcino en el artículo Ïdempotents in group algebras and minimal abelian codes", calcularemos los idempotentes generados por los subgrupos de G, para después ver que son el conjunto de idempotentes primitivos y así los generadores de los códigos cíclicos y abelianos minimales. Este punto de vista (álgebras de grupo) extendió los resultados de Arora y Pruthi, los cuales fueron obtenidos desde la óptica de anillos de polinomios. Además, permitió calcular la dimensión y el peso de los códigos de manera más fácil.
Existencia y caracterización de topologías maximales
(Universidad Industrial de Santander, 2016) Murgas Ibarra, Javier Jose; Uzcátegui Aylwin, Carlos Enrique
Es posible dotar de varias topologías a un conjunto. La colección de todas las topologías (sin puntos aislados) sobre un conjunto dado forma conjunto ordenado parcialmente por inclusión. Una topología maximal es un elemento maximal de esta colección. Este trabajo consiste principalmente en hacer un estudio de las topologías maximales. También se estudian algunos resultados sobre la complejidad de estas topologías. En el primer capítulo se hace un breve repaso sobre algunos conceptos relacionados con los espacios topológicos, filtros e ideales. En el segundo capítulo se da una caracterización de las topologías maximales, se prueba que un espacio sin puntos aislados es maximal si y sólo si es extremadamente disconexo, nodec y tal que todo subespacio abierto es irresoluble (se precisarán estos términos más adelante), entre otras equivalencias. Se muestra que una topología con la propiedad de ser maximal en la propiedad de regularidad no necesariamente es maximal. Por último se prueba la existencia de un espacio con topología maximal con la propiedad de regularidad. En el tercer capítulo presentamos un estudio de la complejidad de las topologías maximales sobre conjuntos numerables y otras topologías relacionadas. Se prueba que las topologías maximales no son analíticas, que los espacios extremadamente disconexos Hausdorff no son analíticos y que los espacios irresolubles T1 tampoco son analíticos. Por último, se muestra un ejemplo de un espacio nodec boreliano (y por tanto analítico).
Cuatro extensiones de la dualidad de stone
(Universidad Industrial de Santander, 2017) Ramirez Ardila, Edwar Alexis; Sabogal Pedraza, Sonia Marleni
Este trabajo consiste principalmente en estudiar y presentar cuatro extensiones de la dualidad de Stone, para ello una idea esencial ser´a considerar las categor´ıas ABR y STR, luego se extender´an los funtores cl´asicos de Stone a estas categor´ıas y se dar´a una adjunci´on (estos conceptos por supuesto se precisan en el trabajo). En el primer cap´ıtulo (preliminares) se hace un breve repaso de la teor´ıa de anillos de Boole con 1, la teor´ıa de los espacios de Stone y tambi´en de los conceptos de la teor´ıa de categor´ıas que se va a usar. En el segundo cap´ıtulo se hace un estudio de la dualidad de Stone, que se da entre las categor´ıas AB1 y ST. En el ´ultimo cap´ıtulo se van enriqueciendo las categor´ıas ABR y STR al dotar a los anillos de Boole con una “cierta” relaci´on, lo que significar´a, enriquecer tambi´en al espacio de Stone correspondiente con una “cierta” relaci´on de tal manera que la adjunci´on establecida en el segundo cap´ıtulo restringida a estas nuevas categor´ıas resulte ser una dualidad, obteniendo as´ı cuatro extensiones de la dualidad de Stone. Finalmente y como aplicaci´on de la dualidad entre ABRL (anillos de Boole con una relaci´on de “ligaz´on”) y RCHS (Espacios de Stone con una relaci´on cerrada y de equivalencia), se da una visi´on algebraica de la conexidad en la categor´ıa ABRL y se muestra que la conexidad topol´ogica en los cocientes Hausdorff de espacios de Stone coincide con la propiedad algebraica de la conexidad ya definida y en particular se demuestra que todo continuo se puede representar algebr´aicamente mediante un objeto conexo de la categor´ıa ACRL (anillo de Cantor con una relaci´on de “ligaz´on”).

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