Matemáticas

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https://noesis.uis.edu.co/handle/20.500.14071/9114

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Browsing Matemáticas by Author "Arana Romero, Karen Daniela"

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    Equivalencia del axioma de eleccion con la existencia de bases de hamel
    (Universidad Industrial de Santander, 2019) Arana Romero, Karen Daniela; Uzcátegui Aylwin, Carlos Enrique
    El objetivo principal de este trabajo es estudiar precisamente el rol que el axioma de elección juega en el álgebra lineal, especialmente en lo que se refiere a la existencia de bases para espacios vectoriales. Estudiaremos la demostración de que el axioma de elección es equivalente a que todo espacio vectorial admita una base expuesta en el libro Axiom of Choice de Horst Herrlich 1 . Esta prueba se divide en 2 partes. En la primera parte para probar la existencia de base para cualquier espacio vectorial se usa una equivalencia del axioma de elección: el Lema de Kuratowski-Zorn, el cual afirma que todo conjunto parcialmente ordenado no vacío en el que toda cadena (subconjunto totalmente ordenado) tiene una cota superior, contiene al menos un elemento maximal. En la segunda parte, para probar que el axioma de elección se deduce a partir de la afirmación de que todo espacio vectorial admite una base, se parte de una familia de conjuntos no vacíos (Xi) i∈I y se considera el anillo de polinomios K [X] y el cuerpo de fracciones K (X), siendo X = S i∈I Xi . También definimos el i−grado para cada i ∈ I y se muestra que el conjunto K (X) sobre el subcuerpo de fracciones de i−grado homogéneo 0, es un espacio vectorial y por tanto existe una base. Sobre esta base definimos una función de elección de manera explícita deduciendo así el axioma de elección múltiple, el cual es una equivalencia del axioma de elección. Finalmente, usando el concepto de familias casi disjuntas, se muestra que cualquier base para el R-espacio vectorial R N necesariamente es no numerable.