Matemáticas

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Teoría de códigos & algebras de grupo
(Universidad Industrial de Santander, 2016) Barajas Avila, Gerson Leonel; Holguin Villa, Alexander; Rodriguez Palma, Carlos Arturo
Estudiaremos la construcción de códigos sobre álgebras de grupo FG de un grupo G sobre un cuerpo F. En particular, consideraremos F un cuerpo finito de q elementos y G un grupo finito tal que mcd(q, |G|) = 1, para que FG sea semisimple, pues siendo semisimple todo código en FG es un ideal y todo ideal de FG es de la forma FGe, donde e es un elementos idempotente, es decir, todo ideal es generado por un elemento idempotente. Por lo tanto, nos concentraremos en la construcción de dichos elementos. Además, si G es un grupo cíclico los códigos serán cíclicos y si Ges abeliano los códigos serán abelianos. Por medio de los resultados obtenidos por Raul Ferraz y Cesar Polcino en el artículo Ïdempotents in group algebras and minimal abelian codes", calcularemos los idempotentes generados por los subgrupos de G, para después ver que son el conjunto de idempotentes primitivos y así los generadores de los códigos cíclicos y abelianos minimales. Este punto de vista (álgebras de grupo) extendió los resultados de Arora y Pruthi, los cuales fueron obtenidos desde la óptica de anillos de polinomios. Además, permitió calcular la dimensión y el peso de los códigos de manera más fácil.