Maestría en Matemáticas

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Browsing Maestría en Matemáticas by browse.metadata.evaluator "Berenstein Opscholtens, Alexander Jonathan"

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    Espacios polacos universales
    (Universidad Industrial de Santander, 2021) Guerrero Mojica, José Guillermo; Uzcátegui Aylwin, Carlos Enrique; Pinedo Tapia, Héctor Edonis; Berenstein Opscholtens, Alexander Jonathan
    Los espacios polacos universales han sido muy estudiados en los últimos años. En este trabajo presentaremos algunos resultados sobre este tema. Decimos que un espacio polaco X es universal si todos los espacios polacos están contenidos isométricamente en X. Estudiaremos ejemplos importantes de espacios universales como C [0;1], el espacio de las funciones continuas del intervalo [0;1] en R con la métrica uniforme. Decimos que un espacio métrico es ultra homogéneo si toda isometría entre subconjuntos finitos se puede extender a una isometría sobre todo el espacio. Estudiaremos la ultra homogeneidad de R y verificaremos que C [0;1] no es ultra homogéneo. Uno de nuestros objetivos principales es construir el espacio de Urysohn U y mostrar que es el único (salvo isometría) espacio polaco universal y ultra homogéneo. Realizaremos tres construcciones del espacio universal de Urysohn, usando ideas de Urysohn, Hausdorff y Katetov, para esto seguiremos los trabajos (Husek, 2008) y (Gao, 2009). Un grupo topológico es polaco si como espacio topológico es polaco. Verificaremos que Iso (X), el grupo de isometrías sobre un espacio polaco X con la topología de la convergencia puntual y la operación composición, es un grupo polaco. Decimos que un grupo polaco es universal si contiene a todos los grupos polacos isomorficamente como subgrupos cerrados. Verificaremos que Iso (U), el grupo de isometrías sobre el espacio de Urysohn, es universal.
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    Las relaciones de Green y representación de semigrupos polacos
    (Universidad Industrial de Santander, 2025-02-21) Delgado Morales, Yesli Natali; Uzcátegui Aylwin, Carlos Enrique; Rincón Villamizar, Michael Alexander; Berenstein Opscholtens, Alexander Jonathan
    Un semigrupo es un conjunto con una operación asociativa; cuando el conjunto es un espacio topológico y la operación es continua, se le llama semigrupo topológico. Recientemente, ha habido un interés creciente en estudiar semigrupos polacos, es decir, semigrupos topológicos donde la topología es completamente metrizable y separable. Uno de los principales objetivos de este trabajo fue extender algunos resultados conocidos sobre los grupos polacos a los semigrupos polacos; por ejemplo, la continuidad automática. Cada semigrupo tiene asociadas cinco relaciones de equivalencia llamadas relaciones de Green. Han sido ampliamente estudiados y han demostrado ser una herramienta esencial para estudiar la estructura de semigrupos. Cuando el semigrupo es polaco, las relaciones de Green resultan analíticas. En este trabajo, presentamos algunos resultados sobre la teoría descriptiva de conjuntos y las relaciones de Green.