Topologia en el plano complejo
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Date
2005
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Publisher
Universidad Industrial de Santander
Abstract
El estudio de la topología en subconjuntos de plano R?, en realidad no es tan sencillo; existenafirmaciones muy simples tales como el teorema de la curva de Jordan (“cada curva simplecerrada tiene interior y exterior”), que sin embargo, no son tan fáciles de probar. El conjunto de números complejos posee una estructura algebraicamente cerrada, además forma unaextensión del conjunto de los números reales, es por esto que la topología de R? se puedeexplicar utilizando el plano complejo. Algunas ventajas son la presencia de la multiplicación,y de la función exponencial; pero el gran problema es que no todas las pruebas se pueden generalizar a ¡R”, para n > 2. En este proceso el logaritmo de un número complejo, juega un papel muy importante, así como la compacidad y la conexidad de un conjunto.El propósito de este trabajo, basado en el artículo Topology in the complex plane, publicado en The American Mathematical Montlhy por Andrew Browder, es mostrar como los espa- cios compactos de Hausdorff, inducen una familia de funciones continuas, con propiedades topológicas interesantes, y de esta forma definir una relación de equivalencia entre funcio- nes, para llegar a la definición del grupo Hx; este grupo será utilizado junto con algunas herramientas de topología y de análisis complejo, para mostrar una prueba corta y fácil, del teorema de la curva de Jordan. Además se presentarán las demostraciones de algunos teore- mas clásicos como el teorema fundamental del álgebra y el teorema del punto fijo, utilizando resultados que se obtienen a partir del grupo Hx. El lector debe estar familiarizado con losconocimientos básicos de la topología de un conjunto, debe saber lo que es un grupo abeliano libre, y debe manejar algunos aspectos sobre los números complejos.
Description
Keywords
Plano complejo, Logaritmo complejo, Funciones continuas, Conexi- dad, Compacidad, componentes conexos, Teorema de Jordan.