Unicidad en la Z-graduación de las álgebras de caminos de Leavitt
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Date
2025-02-21
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Universidad Industrial de Santander
Abstract
El objetivo principal de esta tesis es estudiar la unicidad en la Z-graduación de las álgebras de caminos de Leavitt. Sea L_K(E) una K-álgebra libre restringida por relaciones definidas sobre un grafo dirigido E. La construcción de estas álgebras se inspira en las relaciones que definen a las C*-álgebras de grafo y rinde homenaje al trabajo de Leavitt, quien analizó el comportamiento de una familia de K-álgebras estableciendo condiciones de simplicidad para algunas de ellas. Bajo ciertas condiciones, las álgebras de caminos de Leavitt se relacionan con las C*-álgebras de grafo.
En esta tesis se estudia en detalle la estructura de la Z-graduación de L_K(E), en la que cada elemento homogéneo de grado n se expresa como una combinación lineal de productos de la forma αβ*, donde α y β son caminos en E cuya diferencia de longitudes es n. Se establecen diversos lemas técnicos que fundamentan propiedades esenciales de esta graduación y de las subálgebras asociadas.
El resultado central es el Teorema de Unicidad de la Z-graduación, que afirma que, si π: L_K(E) → A es un homomorfismo de anillos graduados que satisface π(v) ≠ 0 para cada vértice v en E, entonces π es inyectivo. La demostración se realiza mediante inducción sobre las subálgebras, haciendo uso de diagramas conmutativos y del Lema Corto de los Cinco.
Finalmente, se examinan las implicaciones del teorema, en particular su aplicación en la caracterización de la simplicidad de L_K(E) a través del Teorema de Simplicidad, el cual relaciona condiciones estructurales del grafo E (tales como las condiciones (L) y (K), hereditariedad, saturación y cofinalidad) con la simplicidad del álgebra.
Description
Keywords
Álgebra de caminos de Leavitt, Grafo dirigido, Z-graduación, Teorema de unicidad, Simplicidad