Escuela de Matemáticas
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Browsing Escuela de Matemáticas by browse.metadata.advisor "Arenas Díaz, Gilberto"
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Item Análisis teórico de la ecuación KdV con coeficientes dependientes del tiempo(Universidad Industrial de Santander, 2023-06-01) Rueda Niño, José Camilo; Arenas Díaz, Gilberto; Loaiza Motato, Gerardo Arturo; Pipicano Guzmán, Felipe Alexander; López Ríos, Juan CarlosEl presente proyecto de investigación se enmarca en la teoría de las ecuaciones diferenciales parciales dispersivas no lineales y la teoría cuasilineal de Kato. Se considera una ecuación KdV unidimensional con coeficientes dependientes del tiempo y se demuestra, considerando condiciones generales sobre los coeficientes, la buena colocación local del problema de Cauchy. Adicionalmente, para este mismo problema, se logran probar tres leyes de conservación.Item Análisis teórico de las ecuaciones diferenciales difusas de orden fraccionario(Universidad Industrial de Santander, 2021) Contreras Páez, Duván Alexis; Villamizar Roa, Elder Jesús; Arenas Díaz, Gilberto; Pérez López, Jhean Eleison; Herrón Osorio, Sigifredo de JesúsEl estudio de ecuaciones diferenciales fraccionarias constituye un campo de creciente interés, no solo desde el punto de vista teórico, sino también debido a su aplicabilidad al análisis de fenómenos de las ciencias físicas y naturales. Su formalización se caracteriza por la sustitución de derivadas clásicas por derivadas de orden fraccionario. Por otro lado, las ecuaciones diferenciales difusas se propusieron como un intento de manejar la incertidumbre que aparece en muchos modelos matemáticos de algunos fenómenos no deterministas del mundo real en los que predomina la incertidumbre, la subjetividad o la vaguedad. En esta tesis, además de disertar sobre la fundamentación teórica del cálculo fraccionario, se analiza la existencia de soluciones de problemas de valor inicial en el contexto fraccionario, que incluyen fenómenos de retardo. Explícitamente, considerando la derivada generalizada difusa de Caputo-Katugampola, se demuestran algunos resultados de existencia y unicidad vía teoremas de punto fijo de funciones débilmente contractivas sobre espacios métricos parcialmente ordenados.Item Análisis teórico de las ecuaciones diferenciales difusas de orden fraccionario(Universidad Industrial de Santander, 2021) Contreras Páez, Duván Alexis; Arenas Díaz, Gilberto; Villamizar Roa, Elder JesúsEl estudio de ecuaciones diferenciales fraccionarias constituye un campo de creciente interés, nosolo desde el punto de vista teórico, sino también debido a su aplicabilidad al análisis de fenómenosde las ciencias físicas y naturales. Su formalización se caracteriza por la sustitución de derivadasclásicas por derivadas de orden fraccionario. Por otro lado, las ecuaciones diferenciales difusas sepropusieron como un intento de manejar la incertidumbre que aparece en muchos modelos matemáticos de algunos fenómenos no deterministas del mundo real en los que predomina la incertidumbre,la subjetividad o la vaguedad. En esta tesis, además de disertar sobre la fundamentación teórica delcálculo fraccionario, se analiza la existencia de soluciones de problemas de valor inicial en el contextofraccionario, que incluyen fenómenos de retardo. Explícitamente, considerando la derivada generalizada difusa de Caputo-Katugampola, se demuestran algunos resultados de existencia y unicidad víateoremas de punto fijo de funciones débilmente contractivas sobre espacios métricos parcialmente ordenados.Item Diferenciabilidad de multifunciones y aplicaciones en el contexto difuso(Universidad Industrial de Santander, 2010) Reatiga Villamizar, Alexander; Arenas Díaz, Gilberto; Villamizar Roa, Elder JesusEn este trabajo de grado de Maestría en Matemáticas, se presenta inicialmente una revisión bibliográfica respecto al cálculo de multifunciones y multifunciones difusas; en particular se da una revisión de la teoría preliminar de espacios de conjuntos difusos, continuidad y diferenciabilidad de multifunciones, medibilidad e integrabilidad de multifunciones; y posteriormente, se hace un análisis más exhaustivo relativo a la diferenciabilidad de multifunciones y diferenciabilidad de multifunciones difusas. La presentación de la temática en este trabajo, se da respetando el orden cronológico en el cual han aparecido los resultados relativos a este tema de investigación. En cuanto al caso de diferenciabilidad de multifunciones, se exponen las ideas presentadas en un principio por M. Hukuhara [14], H. T. Banks 8. M. Q. Jacobs (2], F. S. de Blasi [5], y trabajos más recientes como los de A-G. M. Ibrahim [15] y B. Bede 4 S. G. Gal [3]. Respecto a la diferenciabilidad de las multifunciones difusas, se ha hecho una revisión de los trabajos presentados por M. Puri 8 D. Ralescu [27], O. Kaleva [16] [17], Seikkala [35], C. Wu 8 S. Song é. E. Stanley Lee [42], B. Bede 8 S. G. Gal [4] y recientemente por Román-Flores 8. Rojas-Medar [33]. Retomando las ideas presentadas por L. Stefanini 8 B. Bede y L. Stefanini [87], sobre la diferencia generalizada de Hukuhara y la diferenciabilidad de multifunciones del tipo F : T — $", siendo F la clase de conjuntos difusos definidos sobre R que son normales, convexos, semicontinuos superiores y con soporte compacto; se hace un aporte a esta teoría al introducir una nueva definición de diferenciabilidad para multifunciones difusas del tipo F : T — $”. La nueva definición de diferenciabilidad se logra gracias a algunas propiedades interesantes que tiene la diferencia generalizada de Hukuhara. De igual forma se demuestra que esta nueva definición de diferenciabilidad de multifunciones difusas, generaliza algunas definiciones existentes en la literatura, como son las definiciones que aparecen en [36] [8]. También se utiliza esta nueva definición de diferenciabilidad para mostrar la existencia de solución al problema de Cauchy en el contexto difuso. Finalmente se hacen sugerencias para posibles trabajos futuros donde tendría aplicación esta noción de diferenciabilidad, resaltando de esta manera la importancia de ella. Estos aspectos constituyen el aporte novedoso de esta tesis de Maestría.Item Ecuaciones diferenciales difusas(Universidad Industrial de Santander, 2010) González Calderón, William; Arenas Díaz, Gilberto; Villamizar Roa, Elder JesusMuchos trabajos sobre ecuaciones diferenciales difusas han sido elaborados en los últimos años, tanto en el campo teórico como en el aplicado. El tema principal de esta tesis es el problema de valor inicial (PVI) asociado a una ecuación diferencial ordinaria de primer orden en el contexto difuso. En particular, se analizan las implicaciones que tiene la diferenciabilidad sobre la existencia de soluciones de PVI en el contexto difuso. Se introduce una nueva noción de diferenciabilidad difusa que llamamos α-derivada, la cual generaliza resultados sobre existencia y unicidad de PVI publicados previamente. Se estudia el método de las inclusiones diferenciales como una herramienta para resolver PVI difusos. El presente trabajo ha sido organizado de la siguiente manera. En un primer capítulo, presentamos los aspectos básicos de la teoría de los conjuntos difusos y fundamentos del análisis multívoco difuso. En un segundo capítulo, hacemos una disertación profunda y exhaustiva del artículo “Fuzzy differential equations" elaborado por Osmo Kaleva en 1987. El tercer capítulo trata principalmente sobre las implicaciones de la α-derivada en el problema de valor inicial en el contexto difuso. El contenido del tercer capítulo se basa en el artículo “A note on the Cauchy problem of fuzzy differential equations". Este capítulo constituye nuestro principal aporte a la teoría de las ecuaciones diferenciales difusas. El cuarto capítulo trata sobre la teoría de las inclusiones diferenciales; recopilamos los principales resultados sobre este tema y presentamos algunos ejemplos.Item Medidas difusas(Universidad Industrial de Santander, 2012) Ramírez Lamus, Edgar Rene; Arenas Díaz, GilbertoEn los últimos años, la teoría de medidas difusas e integrales difusas se han convertido en una rama de la matemática que ha captado un gran interés de investigación; es por eso, que el propósito de este trabajo de Maestría en Matemáticas es el estudio de dichos conceptos. Los conceptos de medida difusa e integral difusa fueron introducidos por Michio Sugeno en los años setenta del siglo pasado intentando dar un enfoque diferente a la generalización del concepto de medida clásica. La principal característica de las medidas clásicas es la propiedad o-aditividad. Aunque dicha propiedad puede ser muy efectiva y conveniente en ciertas aplicaciones, como la estadísticas y la economía, también puede resultar demasiado inflexible y rígida en otros contextos, como por ejemplo, la inteligencia artificial, las redes neuronales, el procesamiento de imágenes, entre otros, en los cuales es útil definir medidas no aditivas (medidas difusas). Las medidas difusas se caracterizan por la debilitación de la propiedad v-aditiva de las medidas clásicas, la cual se puede sustituir por una condición más débil conocida como la monotonía. Mientras que una integral difusa se caracteriza por ser la integral respecto a una medida difusa. El desarrollo de este trabajo se realiza de la siguiente manera: En el primer capítulo se hace un estudio de las medidas difusas. Se inicia estudiando el concepto de medida difusa y algunas de sus propiedades, posteriormente se hace una clasificación de las medidas difusas según la propiedad aditiva y la A-medida, seguidamente se definen las propiedades estructurales de las medidas difusas, se analizan las interrelaciones entre ellas y se dan algunos ejemplos. El segundo capítulo está dedicado a las integrales difusas: la integral de Sugeno y la integral de Choquet. Después de hacer una breve descripción de sus propiedades, se realiza un estudio sobre la extensión de los principales teoremas de convergencia de la teoría de integración clásica al contexto de las integrales difusas. Se realiza también una comparación entre las integrales difusas de Sugeno y Choquet utilizando el concepto de función equiordenada. En el tercer capítulo se presentan dos ejemplos interesantes donde se usan las medidas e integrales difusas; para finalizar se describen algunos fenómenos donde son utilizadas las medidas difusas y las integrales difusas.