Escuela de Matemáticas

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Celdas en hiperespacios de continuos
(Universidad Industrial de Santander, 2016) Herrera Villamizar, Daniel Armando; Camargo García, Javier Enrique
Se conocen modelos de hiperespacios para diferentes continuos que nos permiten conocerlos totalmente en cuanto a sus propiedades topológicas y geométricas. Sin embargo para la mayoría de continuos no es posible dar modelos geométricos a sus hiperespacios y por esta razón debemos encontrar maneras alternativas para describir propiedades de estos hiperespacios. Un problema curioso e interesante que nos ayuda a entender la geometría de los hiperespacios, es identificar celdas en estos hiperespacios. Es conocido que el hiperespacio 2 X de un continuo X, siempre contiene un cubo de Hilbert. Además, 2 X es un cubo de Hilbert si y sólo si X es un continuo localmente conexo. Tenemos que C(X) contiene n−celdas si y sólo si X contiene n−odos, para algún n ∈ N. De manera más general, Cn(X) es un cubo de Hilbert si y sólo si X es un continuo localmente conexo sin arcos libres. Además, con estas ideas, no es difícil probar que si X contiene un subcontinuo descomponible, entonces Cn(X) contiene una (n + 1) −celda, para cada n ∈ N. En este trabajo, mostramos que el recíproco del resultado anterior también es válido y de esta manera damos una respuesta afirmativa a la pregunta; “¿Dado un continuo X. Si Cn(X) contiene (n + 1) −celdas, para algún n ∈ N, entonces X contiene un subcontinuo descomponible?”. Este trabajo está dividido en tres capítulos. En el Capítulo 1 mostramos algunas definiciones y resultados de los continuos y sus hiperespacios. Comenzamos el Capítulo 2 mostrando modelos geométricos para el hiperespacio C(X) de ciertos continuos seguido de algunos resultados obtenidos previamente que nos permiten determinar n−celdas en los hiperespacios 2 X y C(X). En el Capítulo 3 mostramos algunos resultados obtenidos sobre n−celdas en el hiperespacio Cn(X), y por último presentamos nuestros resultados.
Conjuntos omega límite en clases de continuos
(Universidad Industrial de Santander, 2021) Cancino Rey, Johan Camilo; Camargo García, Javier Enrique
Dados un espacio métrico compacto y f: X > X una función continua definida sobre X, es comúnllamar sistema dinámico discreto al par (X, f). Para un punto x € X, se definen sus conjuntos omega límite comow(x,f) = [y EX : y es punto límite de la sucesión (f"(x))nen) y Q(x, f) = [y € X : existen sucesiones (Xi)jew EX y (Mi)ien EN con x; >x y f”(x;) > y), los cuales nos permiten definir de forma natural las funciones omega límiteOr, Q/: X= 2%. En este trabajo estudiaremos propiedades de los conjuntos omega límite y las funciones omega límite en ciertas clases de continuos, como continuos de tipo lambda, dendritas, dendroides o continuos atriódicos. Iniciaremos presentando los conceptos más relevantes de teoría de continuos y sistemas dinámicos discretos que seusarán a lo largo del trabajo. Luego, abordaremos los continuos de tipo A, y presentaremos la noción de función quepreserva fibras, que será esencial al estudiar algunas propiedades dinámicas en esta clase continuos. Posteriormente,consideramos los puntos no errantes y su relación con el conjunto Q(x, f'); en esta parte se mostrará por ejemplo quela función Qf siempre es semicontinua superior. Seguidamente se presentarán algunas generalizaciones de resultadosconocidos previamente, y para finalizar se estudiarán los continuos atriódicos y ciertas propiedades dinámicas que involucran los conjuntos omega limite, puntos periódicos, puntos recurrentes y el concepto de equicontinuidad.
Conjuntos omega límite en clases de continuos
(Universidad Industrial de Santander, 2021) Cancino Rey, Johan Camilo; Camargo García, Javier Enrique; Isaacs Giraldo, Rafael Fernando; Maya Escudero, David
Dados un espacio métrico compacto y f : X → X una función continua definida sobre X, es común llamar sistema dinámico discreto al par (X, f ). Para un punto x ∈ X, se definen sus conjuntos omega límite como ω(x, f ) = {y ∈ X : y es punto límite de la sucesión ( f n(x))n∈N} y Ω(x, f ) = {y ∈ X : existen sucesiones (xi)i∈N ⊆ X y (ni)i∈N ⊆N con xi→x y f ni (xi)→y}, los cuales nos permiten definir de forma natural las funciones omega límite ωf ,Ωf : X →2X . En este trabajo estudiaremos propiedades de los conjuntos omega límite y las funciones omega límite en ciertas clases de continuos, como continuos de tipo lambda, dendritas, dendroides o continuos atriódicos. Iniciaremos presentando los conceptos más relevantes de teoría de continuos y sistemas dinámicos discretos que se usarán a lo largo del trabajo. Luego, abordaremos los continuos de tipo λ, y presentaremos la noción de función que preserva fibras, que será esencial al estudiar algunas propiedades dinámicas en esta clase continuos. Posteriormente, consideramos los puntos no errantes y su relación con el conjunto Ω(x, f ); en esta parte se mostrará por ejemplo que la función Ωf siempre es semicontinua superior. Seguidamente se presentarán algunas generalizaciones de resultados conocidos previamente, y para finalizar se estudiarán los continuos atriódicos y ciertas propiedades dinámicas que involucran los conjuntos omega limite, puntos periódicos, puntos recurrentes y el concepto de equicontinuidad.
Continuos débilmente unicoherentes
(Universidad Industrial de Santander, 2017) Palacios Arenas, Mayer Yulian; Camargo García, Javier Enrique
La teoría de continuos estudia los espacios métricos, compactos, conexos y no vacíos llamados continuos; el estudio de los continuos, se concentra en identificar propiedades importantes en ellos, un ejemplo es la unicoherencia débil en continuos. Un continuo es débilmente unicoherente, si al ver el espacio como la unión de dos subcontinuos, cuya intersección tiene interior no vacío, se tiene que la intersección de los dos subcontinuos es conexa. Un arco y una 2-celda son continuos débilmente unicoherentes, mientras una curva cerrada simple no lo es. Este trabajo se desarrolla de la siguiente manera: el primero consiste en la revisión de conceptos generales de topología y teoría de continuos, además de las herramientas básicas para la construcción de continuos como la intersección anidada de continuos y límites inversos de continuos; finalmente, se revisa algunas propiedades de continuos irreducibles, indescomponibles, unicoherentes y s-conexos. El segundo capítulo profundiza sobre los continuos débilmente unicoherentes y hereditariamentes débilmente unicoherentes, se muestran ejemplos y propiedades; así mismo, se verá su relación con la unicoherencia y la unicoherencia hereditaria respectivamente. Posteriormente, en el tercer capítulo se estudia las funciones monótonas, casimonótonas, cuasimonótonas, fuertemente libremente descomponibles y libremente descomponibles y se muestran las relaciones entre dichas funciones. Dado que las funciones continuas y abiertas no preservan unicoherencia débil, se estudia la imagen de continuos débilmente unicoherentes a través de las funciones definidas en el Tercer Capítulo y se muestra cuáles de estas funciones preservan unicoherencia débil. Además, se estudia la relación entre las funciones fuertemente libremente descomponibles y las funciones casimonótonas, cuando el dominio es un continuo que satisface ciertas propiedades.
Continuos g-contraibles
(Universidad Industrial de Santander, 2012) Rincón Villamizar, Michael Alexander; Camargo García, Javier Enrique
Un continuo es un espacio métrico, compacto, conexo y diferente del vacío. Un continuo es contraíble si la función identidad es homotópica a una función constante. Claramente, un intervalo compacto, una n-celda (espacio homeomorfo a [0, 1]”) o cualquier subconjunto compacto y convexo de un espacio normado son ejemplos de continuos contraíbles. Por otro lado, el continuo S no es contraíble. Un continuo X es g-contraíble o contraíble generalizado si existe una función f: X => X continua, sobreyectiva y homotópica a una función constante. Los continuos y-contraíbles fueron introducidos por el Profesor David Bellamy en [2]. Claramente todo continuo contraíble es g-contraíble. No es difícil ver que cualquier continuo localmente conexo es g-contraíble. En particular, el continuo 5? es un continuo g-contraíble que no es contraíble. El propósito de este trabajo es estudiar los continuos g-contraíbles. Nuestro trabajo consta de tres capítulos: en el Capítulo 1 introducimos la terminología y notación que se usará en este trabajo. En el Capítulo 2 estudiamos los continuos y-contraíbles. En este capítulo presentamos nuevos resultados y ejemplos. Construiremos una familia no numerable de continuos uniformemente conexos por caminos (ver Definición 2.27) tal que ningún elemento de esta familia es y-contraíble. Finalmente, en el Capítulo 3 estudiamos la y-contractibilidad en los hiperespacios de continuos (ver Definición 1.40). Probaremos que para un continuo X, el hiperespacio F,, (X) es imagen y preimagen continua del cono sobre el conjunto de Cantor si y sólo si X también lo es. Como en el Capítulo 2, construiremos una familia de continuos uniformemente conexos por caminos tal que el hiperespacio de subcontinuos de cada miembro de esta familia no es g-contraíble.
Continuos G-pseudo-contraíbles
(Universidad Industrial de Santander, 2022-09-10) Oliveros Caicedo, María Angélica; Camargo García, Javier Enrique; Pérez León, Sergio Andrés; Maya Escudero, David
Un continuo es un espacio métrico no vacío, compacto y conexo. Un continuo X es contraíble si existen una función continua H : X × [0, 1] → X y un punto p de X tales que H(x, 0) = x y H(x, 1) = p, para cada x ∈ X. R H Bing introduce la noción de pseudo-contraíble de la siguiente forma: Un continuo X es pseudo-contraíble si existen un continuo K, dos puntos a y b en K, un punto p en X y una función continua H : X × K → X tales que H(x, a) = x y H(x, b) = p, para cada x ∈ X. Años más tarde, David Bellamy generaliza la noción de contractibilidad de la siguiente manera: Un continuo X es g-contraíble si existen una función continua y sobreyectiva f : X → X, un punto p de X y una función continua H : X × [0, 1] →X tales que H(x, 0) = f (x) y H(x, 1) = p, para cada x ∈ X. Con las ideas de Bing y Bellamy, resulta natural definir la noción de g-pseudo-contraíble, que fue definido posteriormente, de la siguiente manera: Un continuo X es g-pseudo-contraíble si existen un continuo K, dos puntos a y b de K, una función sobreyectiva f : X → X, un punto p de X y una función continua H : X × K → X tales que H(x, a) = f (x) y H(x, b) = p, para cada x ∈ X. Mostraremos propiedades, ejemplos y relaciones entre estas nociones derivadas de la contractibilidad en continuos.
Dinámica en hiperespacios de continuos
(Universidad Industrial de Santander, 2017) Mejia Caviedes, Melany Dayana; Camargo García, Javier Enrique
Un sistema dinámico discreto es una pareja (X, f), donde X es un espacio métrico, compacto sin puntos aislados y f : X → X una función continua. Un punto x ∈ X se dice periódico si existe un entero positivo n, tal que f n(x) = x; Per(f) denota la familia de los puntos periódicos de f. Dado X un espacio métrico, compacto, conexo y no vacío, un hiperespacio de X es un subconjunto del conjunto P(X), al hiperespacio de todos los subconjuntos cerrados y no vacíos de X lo notaremos por 2 X, el cual lo dotaremos con la topología de Vietroris, topología que coincide con la topología generada por la métrica de Hausdorff. La función 2 f : 2X → 2 X, definida por 2 f (A) = A, para cada A ∈ 2 X, se llama la función inducida, además se conoce que si la función f : X → X es continua, entonces la función 2 f es continua. En el 2005, J. Banks en [4], demostró que para cualquier sistema dinámico se tiene que la densidad del conjunto Per(f), implica la densidad del conjunto Per(2f ); también Banks da un contraejemplo para mostrar que la afirmación reciproca no siempre es cierta. El propósito de este trabajo es estudiar cuando la densidad de Per(2f ) en el hiperespacio 2 X, implica la densidad de Per(f) en X, dándole condiciones al espacio X o a la función f : X → X. Nuestro trabajo está compuesto por tres capítulos: En el Capítulo 1 presentamos las definiciones y resultados que necesitaremos para desarrollar nuestro trabajo. El Capítulo 2 mostramos condiciones en el espacio o en la función para que la afirmación sea verdadera, también construiremos continuos donde la implicación no se da. Finalmente, en el Capítulo 3 mostraremos dos clases de familias: una de continuos tipo Knaster y otra de solenoides donde se construyen homeomorfismos para cada continuo donde la afirmación no es verdadera.
El hiperespacio de no bloqueadores y la propiedad de Kelley
(Universidad Industrial de Santander, 2022-09-16) Ferreira Ortiz, Mayra Isabel; Camargo García, Javier Enrique; Macías Álvarez, Sergio; Uzcátegui Aylwin, Carlos Enrique
Dados A y B dos compactos de un continuo X, diremos que B no bloquea a A, si la unión de todos los subcontinuos de X que intersectan a A y están contenidos en X \ B es un subconjunto denso de X. Si H ⊆ 2^X, denotamos: B(H) = {B ∈ 2^X : B bloquea a todo elemento de H}; y N B(H) = {B ∈ 2^X : B no bloquea a cada A ∈ H, A ∩ B = ∅}. Como B(H) y N B(H) son subconjuntos de 2^X, éstos serán espacios métricos con la métrica de Hausdorff, y los llamaremos el hiperespacio de bloqueadores y no bloqueadores de H, respectivamente. En particular, estudiamos este hiperespacio cuando H es F1(X). Como N B(F1(X)) un espacio métrico, es natural hacernos la siguiente pregunta: ¿bajo cuáles condiciones el hiperespacio N B(F1(X)) es un continuo? Esta pregunta ya ha sido estudiada por diferentes autores. Revisando los espacios X conocidos tales N B(F1(X)) es un continuo, observamos que entodos los ejemplos presentados hasta el momento, si X no es una curva cerrada simple, entonces X contiene un número infinito de continuos indescomponibles. Por tanto, planteamos la siguientes pregunta: Sea X un continuo hereditariamente descomponible. ¿Si el hiperespacio N B(F1(X)) es un continuo entonces X es una curva cerrada simple? Nuestro trabajo se basa en responder parcialmente a esta pregunta, caracterizamos la curva cerrada simple como el único continuo hereditariamente descomponible con la propiedad de Kelley, tal que el hiperespacio de no bloqueadores N B(F1 (X)) es un continuo. También, demostramos que si X es un dendroide, entonces N B(F1(X)) no es un continuo.
Estructuras y mecanismos mentales asociados a la construcción del concepto de ortogonalidad: un modelo cognitivo desde la teoría APOE
(Universidad Industrial de Santander, 2022-04-07) Moreno Solares, Brandon Andrey; Roa Fuentes, Solange; Camargo García, Javier Enrique; Kú Euan, Darly; Villabona Millán, Diana Paola
En este documento se presentan los resultados de una investigación de corte cualitativo, desarrollada por medio de un estudio de casos. Esta investigación se realiza con estudiantes de un primer curso de álgebra lineal con el fin de describir las estructuras y mecanismos mentales que permiten la construcción del concepto de ortogonalidad, sustentada bajo la perspectiva teórica de la teoría APOE. Según las componentes del ciclo de investigación propuesto en la teoría APOE, se diseñó una descomposición genética hipótetica basada en el análisis de libros de texto, la experiencia de los docentes y la literatura sobre el concepto de interés. Con base en la descomposición genética hipótetica, se diseñaron tareas que fueron expuestas mediante una entrevista a cinco estudiantes de un primer curso de álgebra lineal. En cada una de estas tareas se realizó un análisis a priori en donde se describe la inteción cognitiva y teórica de cada situación. Posteriormente, en el análisis de los datos se proporciona evidencia empírica sobre las estructuras y mecanismos mentales que interviene en la construcción del concepto de ortogonalidad. Por último, se presenta una descomposición genética refinada que describe un posible camino para la construcción y comprensión del concepto de ortogonalidad.
Funciones entre continuos que preservan conexidad
(Universidad Industrial de Santander, 2013) Pérez León, Sergio Andrés; Camargo García, Javier Enrique
Un continuo es un espacio métrico, compacto, conexo y diferente del vacío. Sean X y continuos, y sea f: X > Y una función. Diremos que: 1. f es una función de conectividad si para todo conexo C' € X, se tiene que T'(f|c) es conexa. 2. f es una función de conectividad local si existe una cubierta abierta (U. aer de X tal que fl, es una función de conectividad para todo a € A. 3. f es una función conexa si I(f) es conexa. 4. f es una función de Darboux si f(C') es conexo para todo conexo C' € X. 5. f es una función casi continua si para todo abierto N de X Y con T(f) € N, existe una función continua y: X > Y tal que T(g) € N. El propósito de este trabajo es estudiar algunas propiedades con respecto a las familias de funciones anteriormente definidas. Nuestro trabajo está compuesto por cuatro capítulos: En el Capítulo 1 presentamos las definiciones y resultados que necesitaremos para desarrollar nuestro trabajo. El Capítulo 2 está dividido en dos secciones. En la primera sección mostramos las definiciones y propiedades de las familias de funciones definidas en un principio. Además, exhibimos teoremas que muestran las relaciones que se tienen de manera general entre estas funciones. En el Capítulo 3 estudiamos la propiedades de composición y de factor para las familias de funciones anteriormente mencionadas. Finalmente, en el Capítulo 4 estudiamos las relaciones que existen entre las funciones f, C(f) y 2.
Funciones inducidas confluentes entre hiperespacios de contínuos
(Universidad Industrial de Santander, 2012) Prada Marín, Duwamg Alexis; Camargo García, Javier Enrique
El estudio de las funciones continuas, en ciertas áreas de las matemáticas, es de gran importancia, pues son una herramienta que nos permite comparar las propiedades entre espacios. La métrica, la conexidad y la compacidad en un espacio no vacío, son propiedades muy estudiadas en topología, en particular, en la teoría de continuos e hiperespacios de continuos. En la actualidad un continuo es un espacio métrico, compacto, conexo y diferente del vacío. El profesor Januzs J. Charatonik observó que las funciones continuas, sobreyectivas y abiertas entre continuos tienen la propiedad que cada componente de la imagen inversa de un subcontinuo del recorrido es transformada bajo la función de manera sobreyectiva en el continuo. La clase de funciones continuas que tienen esta propiedad consiste de las lamadas funciones confluentes. Otras clases de funciones continuas entre continuos que 1an sido estudiadas son, por ejemplo, las funciones monótonas, semiconfluentes, débilmente confluentes, empalmantes y seudo confluentes. A comienzos del siglo XX tiene sus inicios a teoría de hiperespacios. Dado un continuo X, un hiperespacio de este continuo es una familia de subconjuntos de X que satisfacen una propiedad particular, como ser cerrado no vacío, ser a la vez un continuo, tener cierta cantidad de elementos o cierta cantidad de comonentes, entre otras. Los hiperespacios que presentan alguna de estas condiciones también son continuos. Además de estudiar las propiedades de los hiperespacios, también estudiamos funciones continuas entre ellos. Dada una función continua entre continuos, es posible definir funciones entre los hiperespacios de dichos continuos, llamadas funciones inducidas. El objetivo principal de esta tesis es estudiar las relaciones existentes entre las funciones entre continuos y las funciones inducidas, dadas por las clases de funciones continuas mencionadas con anterioridad.
Funciones inducidas entre hiperespacios de sucesiones convergentes
(Universidad Industrial de Santander, 2023-08-03) Andrade Durán, Álvaro Javier; Camargo García, Javier Enrique; Rincón Villamizar, Michael Alexander; Villanueva Méndez, Hugo
Los hiperespacio de un continuo es una colección de subconjuntos cerrados del continuo bajo algunas condiciones, los hiperespacios que se estudiarán es el hiperespacio de sucesiones convergentes triviales $\mathcal{S}_c(X)$, donde este contiene todas las sucesiones convergentes no triviales de $X$. Además, definimos una nuevo hiperespacio de sucesiones converges $\mathcal{S}(X)$, que contiene todas las sucesiones convergentes de $X$. En este trabajo estudiamos algunas relaciones entre una función definida entre continuos y su función inducida definida entre dos hiperespacios cuando una de estas pertenecía a alguna clase de funciones, entre las clases de funciones que estudiamos estaban las funciones abiertas, semiabiertas, casi abiertas, monótonas y entre otras. En el tercer capítulo se introduce la definición de un nuevo hiperespacio, del cual se obtuvieron varios resultados respecto a algunas propiedades como su conexidad, arco conexidad y conexidad local. Por último, en el último capítulo proveemos una serie de preguntas abiertas para aquellos que quieren continuar con esta investigación.
Limites inversos generalizados de continuos
(Universidad Industrial de Santander, 2015) Jaimes Jaimes, Pedro Nel; Camargo García, Javier Enrique
Un continuo es un espacio métrico, compacto, conexo y diferente del vacío. Dado X un espacio métrico y compacto, definimos el conjunto 2 X = {A ⊂ X| A es compacto y A 6= ∅}. Sean X e Y continuos y F : X → 2 Y una función. Decimos que F es semicontinua superiormente en un punto p de X, si para cada abierto V de Y tal que F(p) ⊂ V , existe un abierto U de X tal que p ∈ U y F(x) ⊂ V para cada x ∈ U. Diremos que F es semicontinua superiormente si lo es en cada punto de X. Sean (Xi , fi)∞ i=1 una sucesión inversa, donde fi : Xi+1 → 2 Xi es una función semicontinua superiormente para cada i ∈ N. Entonces, definimos el límite inverso generalizado de la sucesión inversa (Xi , fi)∞ i=1 como: lím←−(Xi , fi)∞ i=1 = {(xi)∞ i=1 ∈ Q∞ i=1 Xi : xi ∈ fi(xi+1) para cada i ∈ N} . El espacio lím←−(Xi , fi)∞ i=1 lo consideramos como subespacio del espacio producto Q∞ i=1 Xi . Además, no es difícil demostrar que lím←−(Xi , fi)∞ i=1 es compacto. El propósito de este trabajo es estudiar propiedades de los límites inversos generalizados de continuos. Nuestro trabajo está compuesto por cuatro capítulos: En el Capítulo 1 presentamos las definiciones y resultados que necesitaremos para desarrollar nuestro trabajo. El Capítulo 2 mostramos las condiciones suficientes para que el límite inverso generalizado sea conexo. En el Capítulo 3 estudiamos características de la dimensión de continuos obtenidos a partir de límites inversos generalizados. Finalmente, en el Capítulo 4 estudiamos límites inversos generalizados de una familia de funciones semicontinuas superiormente definidas sobre el intervalo [0, 1].
Sombreados en sistemas dinámicos discretos e hiperespacios de continuos
(Universidad Industrial de Santander, 2024-08-18) Estupiñán Valbuena, Iohan Daniel; Camargo García, Javier Enrique; Fernández Román, Leobardo; Uzcátegui Aylwin, Carlos Enrique
Podemos afirmar que el objetivo del estudio de un sistema dinámico discreto es comprender o describir, de alguna manera, el comportamiento de todas las órbitas del sistema. De particular relevancia en este campo es la noción de sombreado. En este documento, además de revisar sistemas dinámicos específicos como $(S^1, f)$, donde $f(z) = z^2$, y $([0,1], T)$, donde $T$ es la función tienda, se estudiaron algunos teoremas útiles para determinar cuándo un sistema dinámico discreto presenta sombreado y cómo se preserva esta propiedad entre un sistema dinámico discreto y su sistema dinámico inducido. Para ello, nos basamos en un trabajo de Leobardo Fernández y Chris Good.
Transitividad en funciones inducidas en hiperespacios de continuos
(Universidad Industrial de Santander, 2014) García Salcedo, Cristian Giovani; Camargo García, Javier Enrique
Sean X un espacio métrico compacto y f : X → X una función continua. Diremos que f es transitiva si, para cada U y V abiertos de X diferentes de vacío, existe m ∈ N tal que f m(U) ∩ V ̸= ∅. Sean f : X → X una función continua definida en un espacio métrico compacto X y n ∈ N. Las funciones inducidas Cn(f): Cn(X) → Cn(X), 2 f : 2X → 2 X y Fn(f): Fn(X) → Fn(X) están definidas, respectivamente, por Cn(f)(A) = f(A), para toda A ∈ Cn(X), 2 f (A) = f(A), para toda A ∈ 2 X, Fn(X) = f(A), para toda A ∈ Fn(X). El propósito de este trabajo es estudiar la transitividad topológica de las funciones inducidas Cn(f): Cn(X) → Cn(X), 2 f : 2X → 2 X y Fn(f): Fn(X) → Fn(X). Este trabajo está dividido en cuatro capítulos: En el Capítulo 1 presentamos algunas definiciones y resultados que necesitaremos para desarrollar este trabajo. En el Capítulo 2 se definen las funciones transitivas y se dan las herramientas para estudiar la transitividad de una función continua. En la última sección de este capítulo se estudian algunos ejemplos importantes. En el Capítulo 3 se definen las funciones inducidas y se estudian las relaciones entre las funciones f : X → X, Cn(f): Cn(X) → Cn(X), 2 f : 2X → 2 X y Fn(f): Fn(X) → Fn(X). En el Capítulo 4 mostramos algunos casos particulares donde la función inducida Cn(f) no es transitiva, para ninguna n ∈ N.

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