Escuela de Matemáticas

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Análisis de la comprensión de los sistemas de ecuaciones lineales en estudiantes de noveno grado cuando realizan actividades que promueven el tránsito entre los pensamientos analítico-aritmético y sintético - geometricoado
(Universidad Industrial de Santander, 2011) Ramos Jaimes, Sulegna; Ordosgoitia Escorcia, Yenis Maria; Camargo García, Javier Enrique; Roa Fuentes, Dora Solange
El presente trabajo pretende dar respuesta al siguiente planteamiento. ¿Elaborar actividades que faciliten el tránsito entre los modos de pensamiento mejora la comprensión que tienen los estudiantes de los sistemas de ecuaciones lineales? En nuestro país el Ministerio de Educación Nacional (MEN), ha dado referentes en cuanto a los contenidos temáticos asignados para cada nivel. Teniendo en cuenta estos estándares de competencia encontramos que para los niveles de 8° y 9° los jóvenes deberían iniciar el estudio de los sistemas de ecuaciones lineales, mediante la modelación y solución de situaciones relacionadas con esta temática. Sin embargo, los estudiantes tienen dificultades a medida que las ecuaciones van haciéndose más complejas o cuando deben representar más de una ecuación lineal en un mismo plano. Para el desarrollo de este trabajo se realizó el diseño de una secuencia de actividades que permitieran al educando valerse de diferentes representaciones para comprender un sistema de ecuaciones lineales y su conjunto solución. Estas representaciones se apoyaron en los modos de pensamiento sintético – geométrico (SG) y analítico – aritmético (AA) planteados por Sierpinska (2000), debido a que el tránsito entre estos modos de pensamiento son considerados como un indicador de aprendizaje en el caso del álgebra. Se aplicó una entrevista didáctica a tres de los estudiantes que habían resuelto la secuencia anterior con el fin de reconocer las evidencias del tránsito entre los modos de pensamiento. Finalmente se presentan los análisis de las actividades y de las entrevistas a la luz del marco teórico y de los antecedentes.
Clases de funciones monótonas entre continuos
(Universidad Industrial de Santander, 2010) Álzate Patiño, Adriana María; Camargo García, Javier Enrique
Las funciones monótonas, casimonótonas, cuasimonótonas, débilmente monótonas y seudomonótonas forman una clasificación de las funciones monótonas que ayudan a establecer propiedades topológicas entre los espacios. En el grupo de funciones que se estudia en el presente trabajo, también se encuentran las funciones confluentes, ya que por su utilidad en topología existe bibliografía que orienta a establecer las relaciones con las clases de funciones monótonas y a su vez, facilita conocer si se preserva cierta propiedad topológica. Esta monografía es el estudio de las relaciones entre dichas funciones y de ciertas propiedades básicas de la topología que se cumplen bajo algunas de las clases de funciones monótonas. Este trabajo está dividido en tres capítulos, así: el primero es un recuento de definiciones, teoremas, lemas, corolarios y algunos ejemplos de la teoría básica de la topología que son de gran utilidad en el desarrollo de los siguientes capítulos; en el segundo capítulo se encuentran las relaciones entre las funciones confluentes y las cinco clases de funciones monótonas que se dan por medio de proposiciones, corolarios o ejemplos según sea el caso; el capítulo final de esta monografía está conformado por el estudio de tres propiedades básicas de topología, la indescomponibilidad, la irreducibilidad y la unicoherencia. Al final del segundo y tercer capítulo se muestra una tabla que recopila todas las relaciones que se establecieron respectivamente.
Continuos 1/2 homogéneos
(Universidad Industrial de Santander, 2021) Silva Granada, Juan David; Camargo García, Javier Enrique
Un continuo es un espacio métrico, compacto, conexo y diferente de vacío. La idea intuitiva de un continuo homogéneo es la de un espacio en el que todos sus puntos tienenentornos que preservan las mismas características topológicas y su definición formalestablece que un continuo es homogéneo si para cualesquiera dos puntos existe unhomeomorfismo que mapea uno de ellos en el otro. Sin embargo, bajo esta definición,existen espacios para los cuales no es posible escoger de manera arbitraria dos puntospara los cuales exista el homeomorfismo antes mencionado y es allí donde se introducela definición de continuos ¿ homogéneos; particularmente los continuos 3 homogéneos,son aquellos en los cuales se generan 2 órbitas por la acción del grupo de homeomorfismos del espacio en sí mismo, un ejemplo que ilustra esta definición lo podemos tenerde un espacio conocido como lo es el intervalo unitario, ya que en este espacio, sus extremos pertenecen a una única órbita mientras que todo punto interior pertenece a otraórbita diferente. De allí que el intervalo pueda ser escrito como la unión de estas dosórbitas y por ende, ser un continuo 3 homogéneo. Es importante encontrar órbitas enlos diferentes continuos, especialmente en los grafos, esta es una tarea enriquecedoraal momento de clasificarlos como l homogéneos. A partir de esto, es posible obtenerresultados interesantes sobre continuos como el arco, que se puede caracterizar comoel único continuo 3 homogéneo, semilocalmente conexo que tiene más de un punto decorte. También se puede establecer que el continuo conocido como el “Arete Hawaiano”es el único continuo hereditariamente localmente conexo, 3 homogéneo, que no es un grafo y su conjunto de puntos de corte es no vacío.
Continuos de awartani
(Universidad Industrial de Santander, 2021) Araque Alarcón, Edwin Rene; Camargo García, Javier Enrique
Un continuo X se dice encadenable si, para cada ε > 0, existe una ε-función f : X → [0, 1]; esto es, existe f : X → [0, 1] continua y sobreyectiva tal que diam(f −1 ε (t)) < ε, para cada t ∈ [0, 1]. En general, dos continuos se dicen incomparables si no existen funciones continuas y sobreyectivas en ninguna dirección; es decir, X y Y son incomparables si no existe f : X → Y continua y sobreyectiva, ni tampoco g : Y → X continua y sobreyectiva. En 1970, en 1 , el profesor J. Rogers pregunto si era posible construir una familia no numerable de continuos encadenables mutuamente incomparables. Un año más tarde, David Bellamy en su artículo titulado “An uncountable collection of chainable continua,” 2 , construyó dicha familia dando respuesta afirmativa a la pregunta de Rogers. Sin embargo, los continuos de Bellamy son ejemplos complejos, donde cada continuo tiene infinitas arco-componentes. Así, Marwan M. Awartani en el artículo titulado “An Uncountable Collection of Mutually Incomparable Chainable Continua” 3 construye continuos encadenables que dan respuesta a la pregunta de Rogers, cada uno de los cuales es una compactación del intervalo (0, 1] y el residuo es homeomorfo al intervalo cerrado [0, 1]. En este trabajo estudiamos el artículo de Awartani y mostramos con detalle la construcción y las pruebas que muestran que efectivamente esta familia satisface las condiciones para dar respuesta a la pregunta del profesor Rogers. El desarrollo de esta monografía consta de 3 capítulos. Se hace una revisión bibliográfica de los conceptos intrínsecos de los continuos, definimos las relaciones dominar y dominar verticalmente en el espacio de Cantor. Luego demostramos que con respecto a estas relaciones existe una colección no numerable de sucesiones mutuamente incomparables. Finalmente, asociamos cada elemento de dicha colección con una compactación del rayo con el arco como resto y demostramos que no existe un una función continua y sobreyectiva entre cualquier par de tales compactaciones. Con esto completamos el objetivo principal de este trabajo.
El funtor f2
(Universidad Industrial de Santander, 2004) Ortiz Vidal, Dairo Jose; Camargo García, Javier Enrique
La teoría de categoría nos permite relacionar diferentes propiedades de distintas ramas de la Matemática, razón por la cual ha despertado gran interés entremuchos estudiosos de esta ciencia y se han logrado grandes avances en muy pocotiempo. La teoría general de los funtores en la categoría de los espacios compactos“Comp”se inicia después de muchas investigaciones en la década de los 50s conla noción de funtor normal introducida por Evgenii Schepin [2] y algunas propiedades básicas topológicas como preservación de peso, preimágenes, epimorfismos,etc. Algunos ejemplos clásicos de funtores en la categoría “Comp” de los espacioscompactos de Hausdorff y las funciones continuas, son el funtor de hiperespacio, yel hiperespacio de inclusión. El hiperespacio Fz(X) definido en [1], induce un funtor en la categoría “Met” delos espacios métricos y las funciones inexpandibles. En la presente monografía seestudiarán algunas propiedades topológicas de este funtor, basados en la métricade Hausdorff definida para F2(X), lo cual constituye un punto de partida paraque el lector estudie este funtor en la categoría “Comp”, en futuros trabajos deinvestigación. La investigación se desarrolló de la siguiente manera: En el primer capítulo seintrodujeron conceptos básicos de espacios métricos, de topología general y deteoría de categoría. En el segundo capítulo se definió el espacio CL(X), la métricade Hausdorff y se dotó a CL(X) con esta métrica para así formar un espacio métrico, luego se analizó a CL como un funtor. El tercer y ultimo capítulo se dedicó ala definición del funtor Fz con base en hiperespacio F2(X), también se dieron algunos ejemplos de modelos geométricos del espacio Fa(X) y se probaron algunaspropiedades de este funtor en la categoría de los espacios métricos “Met” que es elobjetivo principal de la monografía.
El hiperespacio de compactos regulares
(Universidad Industrial de Santander, 2020) Mansell Muñoz, Raymond Alexander; Camargo García, Javier Enrique
Un continuo es un espacio métrico, compacto, conexo y diferente del vacío. Un subconjunto no vacío y cerrado A de un espacio topológico X se denomina cerrado regular si la clausura del interior de A es igual a A. Dado X un continuo, definimos el hiperespacio de subcontinuos regulares D(X), como la familia de todos los subcontinuos cerrado regulares de X. Definimos también un hiperespacio más general, R(X) como la familia de todos los subconjuntos compactos y cerrado regulares de X. En este trabajo estudiaremos la conexidad, compacidad y arcoconexidad de estos dos hiperespacios. También plantearemos algunas preguntas abiertas. El trabajo se encuentra dividido en tres capítulos: En el Capítulo 1 se presentan las principales definiciones y las propiedades más relevantes sobre continuos e hiperespacios, enunciando a su vez algunos de los ejemplos más conocidos. En el Capítulo 2 estudiamos resultados conocidos sobre el hiperespacio D(X). Veremos que no siempre es conexo, y mencionaremos algunas condiciones necesarias y suficientes para su conexidad, además caracterizaremos su compacidad. También veremos algunos ejemplos específicos de D(X) cuando X es algún abanico. Finalmente, en el Capítulo 3 exploraremos el hiperespacio R(X), generalizando algunos resultados previos sobre la conexidad de D(X), y mostraremos que R(X) nunca es compacto. De igual forma se presentan algunos ejemplos específicos de este hiperespacio para ciertos continuos y se plantean algunas otras preguntas abiertas.
El teorema de Hahn-Mazurkiewicz
(Universidad Industrial de Santander, 2021) Cáceres Gómez, Yelsin Leonel; Camargo García, Javier Enrique
Un continuo es un espacio métrico compacto, conexo y no vacío. Un continuo de Peano es un continuo localmente conexo. Dado un espacio métrico X y Y C X, diremos que Y tiene la propiedad S sipara cada e > 0, existen 41,..., A, subconjuntos conexos de Y tales que Y = );_, A; y diám(4;) < epara cada ¡ € (1,....n). Así mismo, diremos que una función F: X > CL(Y) es semicontinua superiormente en xy € X si para cada abierto V de Y, con F(xp) € V, existe un abierto U de X, conxp € U, tal que F(x) € V para cada x € U, donde CL(Y) = (4 C Y | A escerrado y A 4). Eneste trabajo daremos una condición necesaria y suficiente para que un continuo sea un continuo de Peano. También, se mostrarán algunas propiedades con respecto a las multifunciones. En el Capitulo[T] se darán algunos conceptos básicos de topología y las propiedades más relevantessobre la propiedad S que se usarán posteriormente. En el Capítulo[2]veremos un resultado imprescindible que nos ofrece una manera de construir funciones continuas y sobreyectivas (Teorema Generalde Funciones). En el Capítulo[8] usaremos las multifunciones para mostrar que el espacio de Cantores el único compacto métrico, totalmente disconexo y sin puntos aislados. También, probamos quetodo métrico compacto es cociente del espacio de Cantor. Finalmente, En el Capítulo [4] se enunciaEl Teorema de Hahn-Mazurkiewicz, el cual brinda una condición necesaria y suficiente para que un continuo sea un continuo de Peano.
Equicontinuidad en dendritas
(Universidad Industrial de Santander, 2019) Cancino Rey, Johan Camilo; Camargo García, Javier Enrique
Un continuo es un espacio métrico compacto, conexo y no vacío. Una dendrita es un continuo de Peano (localmente conexo) que no contiene curvas cerradas simples. Dada una dendrita X y x ∈ X, se definen los conjuntos omega límite ω(x, f) = {y ∈ X : y es punto límite de la sucesión (f n(x))n∈N} y Ω(x, f) = {y ∈ X : existen sucesiones (xi) ⊆ X y (ni)i∈N ⊆ N con xi → x y f ni (xi) → y}. Asimismo, diremos que una función f : X → X es equicontinua si para todo ε > 0, existe δ > 0 tal que si d(x, y) < δ, entonces d(f n(x), f n(y)) < ε para todo n ∈ N. En este trabajo daremos algunas condiciones necesarias para la continuidad de la función ωf : X → 2 X, definida por ωf (x) = ω(x, f), en el contexto de las dendritas. También, se mostrarán algunas propiedades con respecto a la equicontinuidad en dendritas. En el Capitulo 1, se darán algunos conceptos relacionados con sistemas dinámicos discretos y las propiedades más relevantes sobre las dendritas que se usarán posteriormente. En el Capítulo 2 veremos que, en una dendrita, la continuidad de ωf implica que el conjunto de puntos periódicos, Per(f), sea conexo, que el conjunto de puntos recurrentes, R(f), sea un continuo y que además, R(f) = Per(f); siendo estos los principales resultados de este capítulo. Finalmente, en el Capítulo 3, se enuncian algunos teoremas que dan condiciones necesarias y suficientes para que una función f definida en una dendrita sea equicontinua
Espacios por puntos de corte
(Universidad Industrial de Santander, 2005) Paez Diaz, Felix Antonio; Camargo García, Javier Enrique
La noción de espacio por puntos de corte se introduce como un espacio topológico conexo con la propiedad que al “quitar” cualquiera de sus puntos se transforma en un espacio topológico disconexo. En este trabajo (el cual consta de cuatro capítulos), se revisan algunas propiedades de estos espacios. En el primer capítulo se da una lista de conceptos básicos de topología que son de gran importancia para el entendimiento de esta monografía. En el segundo capítulo se da la definición de conexidad y se presentan algunas propiedades de los espacios topológicos conexos y conexos por caminos, al igual que varios ejemplos. Posteriormente, en el tercer capítulo se da la definición de espacio por puntos de corte, se muestra que dichos espacios en general, no son 7) y se presenta de manera formal algunos ejemplos, entre los cuales se destaca un espacio al cual por su importancia, se le dedica gran parte de este capítuKhalimsky”. Por ultimo, en el cuarto capítu espacios por puntos de corte en: “puntos cerrados” es infinita, y o, pues (salvo homeomorfismos) es único en su clase; “la recta de o se presenta en forma detallada algunas características de lostre las cuales se destaca que en dichos espacios la colección de a no compacidad de los mismos. También, se define una noción de irreducibilidad y se muestra que un espacio por puntos de corte irreducible es necesariamente homeomorfo a la recta de Khalimsky. Esta caracterización se mostrara como una consecuencia de las propiedades topológicas de los espacios por puntos de corte.
Evidencias del tránsito entre los modos de pensamiento geométrico, aritmético y estructural en estudiantes de secundaria y primer año de universidad : el caso de los sistemas de ecuaciones lineales con dos incógnitas
(Universidad Industrial de Santander, 2010) Ardila Corzo, Álvaro; Montanez Villamizar, Claudia; Camargo García, Javier Enrique
El presente trabajo pretende responder a la pregunta ¿Qué dificultades se presentan en estudiantes del grado noveno y los estudiantes de Algebra Lineal II, al transitar entre los modos de pensamiento sintético-geométrico, analítico-aritmético y analítico-estructural al resolver sistemas de dos ecuaciones lineales con dos incógnitas e interpretar su solución? Por tanto el interés se encuentra centrado en determinar evidencias del tránsito entre los modos de pensamiento. Para el desarrollo del trabajo se interactuó con un grupo de estudiantes de noveno grado de básica secundaria y segundo semestre de programas presenciales de pregrado. Se aplicó una prueba diagnóstica a partir de la cual, se diseñaron actividades para realizar una entrevista didáctica con seis de los estudiantes antes mencionados, tres de cada grupo. La lectura y análisis de las respuestas de los estudiantes, bajo la óptica de los modos de pensamiento en Álgebra lineal, expuestos por Sierpinska (2000): pensamiento sintético-geométrico, analítico-aritmético y analíticoestructural, permitieron detectar fortalezas y debilidades que se presentan, cuando los estudiantes se enfrentan a la solución de sistemas de ecuaciones lineales con dos incógnitas. La búsqueda de evidencias del tránsito entre los diversos procesos típicos de cada modo de pensamiento, que deben darse durante la solución de los sistemas de ecuaciones, aportó el espacio para explicar las falencias encontradas. Finalmente se plantean algunas observaciones de tipo metodológico, con el propósito de mejorar el proceso de acompañamiento que deben orientar los maestros, para la construcción pertinente de conocimiento matemático en los estudiantes.
Funciones inducidas abiertas entre hiperespacios de continuos
(Universidad Industrial de Santander, 2021) Andrade Duran, Álvaro Javier; Camargo García, Javier Enrique
Los hiperespacios de un continuo es una colección de subconjuntos del continuo bajo algunas condiciones, los hiperespacios que se estudiarán es el hiperespacio C(X), dondeeste contiene todos los subcontinuos del continuo X y el hiperespacio de suspensión denotado por H.S(X). En este trabajo estudiamos algunas clases de funciones definida entre continuos mostrando que las funciones semiabiertas, casi abiertas o cuasi interior sonindependientes entre sí y una que otra implicación importante, para después dar paso alestudio las funciones inducidas entre hiperespacios, donde mostrando que relaciones hayentre estas cuando alguna de estas es abierta, semiabierta, casi abierta o cuasi interior, ydaremos algunas condiciones tal que una función entre continuos es un homeomorfismodado que las funciones inducidas son abiertas. Al final de cada sección se podrá apreciar un resumen de estas implicaciones y cuales quedan como preguntas aún por resolver.Mostraremos que existe una función entre continuos que no es semiabierta tal que su función inducida C(f) si es semiabierta, con este ejemplo se contradice la demostración delos profesores Xianjiu, Fapping y Gengrong en su artículo “Semi-openness and almostopenness of induced mapping” no es correcto. Además, con el ejemplo que construimos, damos respuesta negativa a una pregunta planteada en el mismo artículo.
Funciones localmente inyectivas entre continuos
(Universidad Industrial de Santander, 2012) Herrera Villamizar, Daniel Armando; Camargo García, Javier Enrique
Homeomorfismos locales, una gran clase de funciones ligeras y funciones de fibra finita, son ejemplos de funciones localmente inyectivas. Por esta razón, las funciones localmente inyectivas pueden ser un camino para conseguir importantes aportes en matemáticas y por lo tanto, es indispensable estudiar esta clase de funciones entre continuos. Esta monografía está enfocada a estudiar propiedades que puedan preservar este tipo de funciones, características de los continuos para que toda función localmente inyectiva entre ellos sea un homeomorfismo y propiedades de tipo algebraico como las propiedades de composición y factor. Esta monografía está dividida en tres capítulos distribuidos de la siguiente manera: En el primer capítulo se dan herramientas para construir continuos, como las intersecciones anidadas de continuos, el producto de continuos y el límite inverso de una sucesión inversa de continuos. En el segundo capítulo se da definición, ejemplos y propiedades de funciones localmente inyectivas, además se estudian grafos, árboles, dendritas, continuos que son unión finita de arcos, continuos únicamente arcoconexos y continuos con una cantidad finita de arcocomponentes. En el tercer capítulo se prueba que las dendritas y los continuos de Knaster son continuos arbolados y se demuestra que toda función localmente inyectiva de un continuo sobre un continuo arbolado es un homeomorfismo.
Funciones que preservan metrica
(Universidad Industrial de Santander, 2005) Bayona Prieto, Gisselle Paola; Camargo García, Javier Enrique
En el ambiente matemático es bien conocido el tema de los espacios métricos ya sea en elcurrículum del curso de análisis matemático o en el curso de topología, por esta razón en elprimer capítulo se especifican conceptos como espacio métrico, función continua y funcióndiferenciable. En el segundo capítulo veremos que una función que preserva métrica se construye a partirde un espacio métrico (X, d) y una función f definida de [0, oo) en [0, oo) de modo que f o des una métrica. El primer interesado en estas funciones fue Sreenivasan en 1947, pero también en 1956Juza, mucho antes que el tema se formalizara, descubrio una interesante aplicación de lasfunciones que preservan métrica. En el capítulo tres es necesario tener en cuenta la continuidad de la función en cero. En laprimera sección examinaremos la importante relación entre funciones que preservan métrica fuertemente y la continuidad. En la segunda y última sección estudiaremos funcionescontinuas que preservan métrica las cuales son diferenciables en cero. Hallar la derivada encero es la tarea final del presente trabajo, obteniendo así una división de las funciones quepreservan métrica en dos clases diferentes: las que están determinadas por el valor finito ylas que tienen un valor infinito de su derivada en cero.
Funciones semiabiertas y cuasiabiertas entre continuos
(Universidad Industrial de Santander, 2010) Ardila Caballero, Édison; Camargo García, Javier Enrique
Para cualesquiera dos espacios topológicos existen varias clases de funciones continuas. En “Continuos mapppings on continua” de T. Mackowiak [Dissertations Math., Warsawa 158 (1979), pp. 1-91] aparecen ciertas clases de funciones continuas para espacios continuos. Estas clases de funciones son definidas por la propiedad, la cual se cumple por la imagen inversa de un subcontinuo de la imagen. En este documento, nosotros mostramos relaciones entre las funciones semiabiertas, cuasiabiertas dadas para cualquier espacio topológico en Semi-openness and almost-openness of induced mappings por Xianjiu Huang, Fanping Zeng y Gengrong Zhang [Appl. Math. J. Chinesse Univ. Ser. B 20 (2005), no. 1, 21-26] y las definidas en Continuos mappings on continua. Todas las relaciones que existen son demostradas y las que no existen son mostradas por medio de un ejemplo. Note que este estudio se realiza entre funciones continuas y sobreyectivas entre continuos, ya que estas funciones y estos espacios conservan ciertas propiedades. En continuos mappings on continua se dan propiedades generales para las clases de funciones. Nosotros verificamos que las funciones semiabiertas y cuasiabiertas cumplen las propiedades de composición, composición factor, producto, producto factor, y no cumplen las propiedades del límite y límite débil. Estas propiedades muestran que el conjunto de las funciones semiabiertas y cuasiabiertas con la operación de com- posición son un semigrupo.
Hiperespacio de sucesiones convergentes
(Universidad Industrial de Santander, 2022-11-14) Mayorga Carreño, Daimon Santiago; Camargo García, Javier Enrique; Uzcátegui Aylwin, Carlos Enrique; Rodriguez Cardenas, Carlos Wilson
Para este trabajo realizamos un estudio del hiperespacio de sucesiones convergentes sobre espacios específicos, como lo son los espacios métricos sin puntos aislados, esto para simplificar las pruebas realizadas. Este hiperespacio fue definido en (Garcia-Ferreira y Ortiz-Castillo, 2015 ) y estudiado más adelante en (Garcia-Ferreira y Rojas Hernandez, 2017). Vemos algunas características generales y mostramos tres propiedades principales, las cuales son muy investigadas en el estudio de los hiperespacios. Además realizamos algunas demostraciones que en estos artículos no aparecían o se seguían de ideas planteadas.
La densidad de los puntos periódicos de una función f y su función inducida 2f
(Universidad Industrial de Santander, 2018) Delgado Perez, Jorge Nelson; Camargo García, Javier Enrique
Un sistema din´amico es una pareja (X, f), donde X es un espacio m´etrico compacto y f : X → X es una funci´on continua. Todo sistema din´amico induce un nuevo sistema din´amico, conocido como sistema din´amico inducido (2X, 2 f ), donde 2X es el hiperespacio asociado a X y 2f : 2X → 2 X es una funci´on continua que env´ıa compactos en compactos de la siguiente manera. Sea A ∈ 2 X, entonces 2f (A) = f(A). Dado un sistema din´amico (X, f), P er(f) es el conjunto de todos los puntos peri´odicos de X bajo f, es decir, para un x ∈ P er(f) existe un k ∈ N, tal que, k es el menor entero que cumple que f k (x) = x, donde f k quiere decir f compuesta k − veces consigo misma. Dado un sistema din´amico (X, f), si el conjunto P er(f) es denso en X, el sistema din´amico inducido (2X, 2 f ), tambi´en tendr´a dicha propiedad, esto quiere decir que P er(2f ) = 2X, este se conoce como el teorema de Banks el cual se analizar´a en este estudio. El rec´ıproco del teorema de Banks no es cierto en todos los casos, por lo tanto el objetivo de este trabajo es analizar detalladamente varios ejemplos de sistemas din´amicos donde la densidad de P er(2f ) no implica la densidad de P er(f), es decir sistemas din´amicos (X, f) que no tienen el conjunto P er(f) denso, pero que el sistema din´amico inducido (2X, 2 f ) si tiene dicha propiedad.
La función t de jones: propiedades y aplicaciones
(Universidad Industrial de Santander, 2015) Castellanos Calderón, Ruben Alveiro; Camargo García, Javier Enrique
Un continuo es un espacio métrico compacto, conexo y no vacío. La Teoría de continuos es la rama de la topología que estudia los espacios métricos compactos y conexos; espacios llamados continuos. A finales de los años 30, el profesor Burton Jones define la función T : P(X) → P(X) como el subconjunto de X tal que: X \ T (A) = {x ∈ X : existe un subcontinuo K de X tal que x ∈ K◦ y K ∩ A = ∅}, para cada A ∈ P(X). Esta función se le llama función T de Jones. Este trabajo muestra el comportamiento de la función T en clases de continuos, caracterizando algunos de ellos. Además, se muestran propiedades de la función T como la T -simetría y T -aditividad, las cuales se presentan de manera natural siempre que tenemos un operador con las características de la función T de Jones. Consideramos importante resaltar que se presentan demostraciones alternativas de resultados clásicos de Teoría de continuos usando la función T . De esta forma planteamos la función T como una herramienta para abordar problemas en topología, particularmente en Teoría de continuos.
La herradura de smale
(Universidad Industrial de Santander, 2005) Montoya Torres, Sergio Andres; Camargo García, Javier Enrique
Esta monografía es en general un estudio en sistemas dinámicos discretos, el objetivoprincipal fue estudiar algunas de las propiedades dinámicas y topológicas de una funcióndefinida de un espacio métrico compacto y conexo en sí mismo; denominada la Herradura de Smale, en honor a su descubridor: Stephen Smale. Esta función, que se describe deuna manera sencilla, induce un sistema dinámico discreto realmente sorprendente debido a la componente de impredecibilidad que se presenta, a pesar de ser un sistema determinista. En este trabajo se muestra detalladamente el comportamiento de esta función. Se comprueba la existencia de un conjunto que es invariante bajo la misma, el cual es homeomorfo al conjunto de Cantor. Además, al restringir la función a este conjunto invariante, se de- muestra que es una función caótica (basados en la definición de caos propuesta por R.Devaney). Así mismo, se da conocer el conjunto atractor de la Herradura de Smale y se verifica que éste es un continuo, es decir, un espacio métrico compacto y conexo. Para facilitar el estudio de la dinámica de la Herradura de Smale se partió de un capítulopreliminar sobre espacios métricos, recopilando aquellos conceptos que se consideran im- prescindibles y que se utilizan constantemente en el trabajo. Posteriormente se realizó una breve introducción a los sistemas dinámicos discretos; analizando la dinámica de dos funciones: una conocida popularmente como La Tienda y otra definida en la circunferencia unitaria, en donde se pudo demostrar que ambas son caóticas.
La métrica: Génesis de la topología de vecindades
(Universidad Industrial de Santander, 2024-03-12) Ortiz, Álvaro; Camargo García, Javier Enrique; Uzcátegui Aylwin, Carlos Enrique; Pérez León, Sergio Andrés
En 1906, en su tesis doctoral, Fréchet introduce la noción abstracta de Espacio métrico. Esta definición estaba enfocada al estudio de convergencia y resulta un tanto imprecisa en términos de la matemática actual. Es por esto que la noción de espacio métrico como la conocemos hoy en día es atribuida a F. Hausdorff. En 1914, Hausdorff presenta la definición de espacio métrico con las ideas de los trabajos de Hilbert y Weyl, que a su vez da origen al concepto de “entorno”; objeto fundamental de la Topología general. Es por esto que personalidades como Bourbaki en su libro Topología general afirma: “con Hausdorff comienza la topología general como se la entiende actualmente.”(En [1], página 126 se lee: “Avec Hausdorff commence la topologie genérale telle qu’on l’entend aujourd’hui”.) La convergencia en espacios métricos es fundamental en el desarrollo del análisis. Además, la métrica determina el nivel de diferencia o lejanía entre objetos. Es por esto que el estudio de los espacios métricos es de gran importancia y determina una manera de estudiar la topología del espacio. En cursos básicos de topología general se estudia como la métrica induce naturalmente una colección de abiertos llamada topología, y que, distintas métricas pueden generar la misma topología teniendo propiedades diferentes en el contexto de los espacios métricos. Solo por dar un ejemplo las expresiones |x−y| y |x−y|1+|x−y| definen métricas que generan la misma topología en R, pero a diferencia de la primera, la segunda únicamente toma valores entre 0 y 1, esto es, es una métrica acotada. En nuestro trabajo investigaremos diferentes tipos de métricas que podemos definir sobre un conjunto. Haremos diferencias entre estas métricas tanto desde el punto de vista topológico, como en el contexto propio de los espacios métricos. Una propiedad “propia de los espacios métricos” es una propiedad que podría dañarse si cambiamos la métrica, sin alterar la topología. En este trabajo planteamos el problema de encontrar propiedades propias de la métrica, y esperamos que el lector se interese por el tema y pueda investigar nuevas propiedades y tal vez, sea un punto de partida para futuras investigaciones. Esta tesis la dividimos en dos capítulos: en el primer capítulo introducimos la definición de métrica, damos varios ejemplos, comparamos sus topologías y estudiamos algunas propiedades; en el segundo y último capítulo, estudiamos el Teorema de Heine-Borel y abordamos la noción de espacio métrico completo, estudiamos algunas propiedades de esta importante clase de espacios métricos y finalmente, presentamos las funciones uniformemente continuas, planteando algunas preguntas entorno a la influencia de la métrica en las funciones continuas.
Los hiperespacios de subcontinuos regulares y subcontinuos magros
(Universidad Industrial de Santander, 2023-03-06) Ramírez Angarita, Diego Alexánder; Camargo García, Javier Enrique; Uzcátegui Aylwin, Carlos Enrique; Rincón Villamizar, Michael Alexánder
Un continuo es un espacio métrico compacto, conexo y no vacío. Un subcontinuo es un continuo contenido en algún espacio métrico. La colección de todos los subcontinuos de un continuo X dotada de la métrica de Hausdorff, se denota C(X). Un subcontinuo A de un continuo X se dice que es magro si Int(A)= ∅; y es llamado regular si Cl(Int(A))=A. Recientemente, el profesor Norberto Ordóñez en los artículos "The hyperspace of regular subcontinua", de 2018, y "The hyperspace of meager subcontinua", de 2020, definió y estudió los hiperespacios D(X) y M(X), formados por los subcontinuos regulares de X y los subcontinuos magros de X, respectivamenre. En este trabajo presentamos algunos resultados obtenidos por Ordóñez acerca de la compacidad, conexidad y densidad de estos hiperespacios. También se encuentran resultados originales que amplían el conocimiento de propiedades topológicas de D(X) y M(X). Obtenemos la complejidad boreliana de D(X) verificando que es un conjunto Π⁰₃ de C(X). Mostramos que el hiperespacio D(X) nunca es infinito discreto. Y damos un ejemplo de un continuo no contráctil tal que su hiperespacio de M(X) es contráctil, respondiendo negativamente a una pregunta planteada por el profesor Ordóñez.

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