Licenciatura en Matemáticas

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Clases de funciones monótonas entre continuos
(Universidad Industrial de Santander, 2010) Álzate Patiño, Adriana María; Camargo García, Javier Enrique
Las funciones monótonas, casimonótonas, cuasimonótonas, débilmente monótonas y seudomonótonas forman una clasificación de las funciones monótonas que ayudan a establecer propiedades topológicas entre los espacios. En el grupo de funciones que se estudia en el presente trabajo, también se encuentran las funciones confluentes, ya que por su utilidad en topología existe bibliografía que orienta a establecer las relaciones con las clases de funciones monótonas y a su vez, facilita conocer si se preserva cierta propiedad topológica. Esta monografía es el estudio de las relaciones entre dichas funciones y de ciertas propiedades básicas de la topología que se cumplen bajo algunas de las clases de funciones monótonas. Este trabajo está dividido en tres capítulos, así: el primero es un recuento de definiciones, teoremas, lemas, corolarios y algunos ejemplos de la teoría básica de la topología que son de gran utilidad en el desarrollo de los siguientes capítulos; en el segundo capítulo se encuentran las relaciones entre las funciones confluentes y las cinco clases de funciones monótonas que se dan por medio de proposiciones, corolarios o ejemplos según sea el caso; el capítulo final de esta monografía está conformado por el estudio de tres propiedades básicas de topología, la indescomponibilidad, la irreducibilidad y la unicoherencia. Al final del segundo y tercer capítulo se muestra una tabla que recopila todas las relaciones que se establecieron respectivamente.
El funtor f2
(Universidad Industrial de Santander, 2004) Ortiz Vidal, Dairo Jose; Camargo García, Javier Enrique
La teoría de categoría nos permite relacionar diferentes propiedades de distintas ramas de la Matemática, razón por la cual ha despertado gran interés entremuchos estudiosos de esta ciencia y se han logrado grandes avances en muy pocotiempo. La teoría general de los funtores en la categoría de los espacios compactos“Comp”se inicia después de muchas investigaciones en la década de los 50s conla noción de funtor normal introducida por Evgenii Schepin [2] y algunas propiedades básicas topológicas como preservación de peso, preimágenes, epimorfismos,etc. Algunos ejemplos clásicos de funtores en la categoría “Comp” de los espacioscompactos de Hausdorff y las funciones continuas, son el funtor de hiperespacio, yel hiperespacio de inclusión. El hiperespacio Fz(X) definido en [1], induce un funtor en la categoría “Met” delos espacios métricos y las funciones inexpandibles. En la presente monografía seestudiarán algunas propiedades topológicas de este funtor, basados en la métricade Hausdorff definida para F2(X), lo cual constituye un punto de partida paraque el lector estudie este funtor en la categoría “Comp”, en futuros trabajos deinvestigación. La investigación se desarrolló de la siguiente manera: En el primer capítulo seintrodujeron conceptos básicos de espacios métricos, de topología general y deteoría de categoría. En el segundo capítulo se definió el espacio CL(X), la métricade Hausdorff y se dotó a CL(X) con esta métrica para así formar un espacio métrico, luego se analizó a CL como un funtor. El tercer y ultimo capítulo se dedicó ala definición del funtor Fz con base en hiperespacio F2(X), también se dieron algunos ejemplos de modelos geométricos del espacio Fa(X) y se probaron algunaspropiedades de este funtor en la categoría de los espacios métricos “Met” que es elobjetivo principal de la monografía.
Espacios por puntos de corte
(Universidad Industrial de Santander, 2005) Paez Diaz, Felix Antonio; Camargo García, Javier Enrique
La noción de espacio por puntos de corte se introduce como un espacio topológico conexo con la propiedad que al “quitar” cualquiera de sus puntos se transforma en un espacio topológico disconexo. En este trabajo (el cual consta de cuatro capítulos), se revisan algunas propiedades de estos espacios. En el primer capítulo se da una lista de conceptos básicos de topología que son de gran importancia para el entendimiento de esta monografía. En el segundo capítulo se da la definición de conexidad y se presentan algunas propiedades de los espacios topológicos conexos y conexos por caminos, al igual que varios ejemplos. Posteriormente, en el tercer capítulo se da la definición de espacio por puntos de corte, se muestra que dichos espacios en general, no son 7) y se presenta de manera formal algunos ejemplos, entre los cuales se destaca un espacio al cual por su importancia, se le dedica gran parte de este capítuKhalimsky”. Por ultimo, en el cuarto capítu espacios por puntos de corte en: “puntos cerrados” es infinita, y o, pues (salvo homeomorfismos) es único en su clase; “la recta de o se presenta en forma detallada algunas características de lostre las cuales se destaca que en dichos espacios la colección de a no compacidad de los mismos. También, se define una noción de irreducibilidad y se muestra que un espacio por puntos de corte irreducible es necesariamente homeomorfo a la recta de Khalimsky. Esta caracterización se mostrara como una consecuencia de las propiedades topológicas de los espacios por puntos de corte.
Funciones localmente inyectivas entre continuos
(Universidad Industrial de Santander, 2012) Herrera Villamizar, Daniel Armando; Camargo García, Javier Enrique
Homeomorfismos locales, una gran clase de funciones ligeras y funciones de fibra finita, son ejemplos de funciones localmente inyectivas. Por esta razón, las funciones localmente inyectivas pueden ser un camino para conseguir importantes aportes en matemáticas y por lo tanto, es indispensable estudiar esta clase de funciones entre continuos. Esta monografía está enfocada a estudiar propiedades que puedan preservar este tipo de funciones, características de los continuos para que toda función localmente inyectiva entre ellos sea un homeomorfismo y propiedades de tipo algebraico como las propiedades de composición y factor. Esta monografía está dividida en tres capítulos distribuidos de la siguiente manera: En el primer capítulo se dan herramientas para construir continuos, como las intersecciones anidadas de continuos, el producto de continuos y el límite inverso de una sucesión inversa de continuos. En el segundo capítulo se da definición, ejemplos y propiedades de funciones localmente inyectivas, además se estudian grafos, árboles, dendritas, continuos que son unión finita de arcos, continuos únicamente arcoconexos y continuos con una cantidad finita de arcocomponentes. En el tercer capítulo se prueba que las dendritas y los continuos de Knaster son continuos arbolados y se demuestra que toda función localmente inyectiva de un continuo sobre un continuo arbolado es un homeomorfismo.
Funciones que preservan metrica
(Universidad Industrial de Santander, 2005) Bayona Prieto, Gisselle Paola; Camargo García, Javier Enrique
En el ambiente matemático es bien conocido el tema de los espacios métricos ya sea en elcurrículum del curso de análisis matemático o en el curso de topología, por esta razón en elprimer capítulo se especifican conceptos como espacio métrico, función continua y funcióndiferenciable. En el segundo capítulo veremos que una función que preserva métrica se construye a partirde un espacio métrico (X, d) y una función f definida de [0, oo) en [0, oo) de modo que f o des una métrica. El primer interesado en estas funciones fue Sreenivasan en 1947, pero también en 1956Juza, mucho antes que el tema se formalizara, descubrio una interesante aplicación de lasfunciones que preservan métrica. En el capítulo tres es necesario tener en cuenta la continuidad de la función en cero. En laprimera sección examinaremos la importante relación entre funciones que preservan métrica fuertemente y la continuidad. En la segunda y última sección estudiaremos funcionescontinuas que preservan métrica las cuales son diferenciables en cero. Hallar la derivada encero es la tarea final del presente trabajo, obteniendo así una división de las funciones quepreservan métrica en dos clases diferentes: las que están determinadas por el valor finito ylas que tienen un valor infinito de su derivada en cero.
Funciones semiabiertas y cuasiabiertas entre continuos
(Universidad Industrial de Santander, 2010) Ardila Caballero, Édison; Camargo García, Javier Enrique
Para cualesquiera dos espacios topológicos existen varias clases de funciones continuas. En “Continuos mapppings on continua” de T. Mackowiak [Dissertations Math., Warsawa 158 (1979), pp. 1-91] aparecen ciertas clases de funciones continuas para espacios continuos. Estas clases de funciones son definidas por la propiedad, la cual se cumple por la imagen inversa de un subcontinuo de la imagen. En este documento, nosotros mostramos relaciones entre las funciones semiabiertas, cuasiabiertas dadas para cualquier espacio topológico en Semi-openness and almost-openness of induced mappings por Xianjiu Huang, Fanping Zeng y Gengrong Zhang [Appl. Math. J. Chinesse Univ. Ser. B 20 (2005), no. 1, 21-26] y las definidas en Continuos mappings on continua. Todas las relaciones que existen son demostradas y las que no existen son mostradas por medio de un ejemplo. Note que este estudio se realiza entre funciones continuas y sobreyectivas entre continuos, ya que estas funciones y estos espacios conservan ciertas propiedades. En continuos mappings on continua se dan propiedades generales para las clases de funciones. Nosotros verificamos que las funciones semiabiertas y cuasiabiertas cumplen las propiedades de composición, composición factor, producto, producto factor, y no cumplen las propiedades del límite y límite débil. Estas propiedades muestran que el conjunto de las funciones semiabiertas y cuasiabiertas con la operación de com- posición son un semigrupo.
La herradura de smale
(Universidad Industrial de Santander, 2005) Montoya Torres, Sergio Andres; Camargo García, Javier Enrique
Esta monografía es en general un estudio en sistemas dinámicos discretos, el objetivoprincipal fue estudiar algunas de las propiedades dinámicas y topológicas de una funcióndefinida de un espacio métrico compacto y conexo en sí mismo; denominada la Herradura de Smale, en honor a su descubridor: Stephen Smale. Esta función, que se describe deuna manera sencilla, induce un sistema dinámico discreto realmente sorprendente debido a la componente de impredecibilidad que se presenta, a pesar de ser un sistema determinista. En este trabajo se muestra detalladamente el comportamiento de esta función. Se comprueba la existencia de un conjunto que es invariante bajo la misma, el cual es homeomorfo al conjunto de Cantor. Además, al restringir la función a este conjunto invariante, se de- muestra que es una función caótica (basados en la definición de caos propuesta por R.Devaney). Así mismo, se da conocer el conjunto atractor de la Herradura de Smale y se verifica que éste es un continuo, es decir, un espacio métrico compacto y conexo. Para facilitar el estudio de la dinámica de la Herradura de Smale se partió de un capítulopreliminar sobre espacios métricos, recopilando aquellos conceptos que se consideran im- prescindibles y que se utilizan constantemente en el trabajo. Posteriormente se realizó una breve introducción a los sistemas dinámicos discretos; analizando la dinámica de dos funciones: una conocida popularmente como La Tienda y otra definida en la circunferencia unitaria, en donde se pudo demostrar que ambas son caóticas.
Topologia en el plano complejo
(Universidad Industrial de Santander, 2005) Figueroa Rodriguez, Edwimg Francisco; Camargo García, Javier Enrique
El estudio de la topología en subconjuntos de plano R?, en realidad no es tan sencillo; existenafirmaciones muy simples tales como el teorema de la curva de Jordan (“cada curva simplecerrada tiene interior y exterior”), que sin embargo, no son tan fáciles de probar. El conjunto de números complejos posee una estructura algebraicamente cerrada, además forma unaextensión del conjunto de los números reales, es por esto que la topología de R? se puedeexplicar utilizando el plano complejo. Algunas ventajas son la presencia de la multiplicación,y de la función exponencial; pero el gran problema es que no todas las pruebas se pueden generalizar a ¡R”, para n > 2. En este proceso el logaritmo de un número complejo, juega un papel muy importante, así como la compacidad y la conexidad de un conjunto.El propósito de este trabajo, basado en el artículo Topology in the complex plane, publicado en The American Mathematical Montlhy por Andrew Browder, es mostrar como los espa- cios compactos de Hausdorff, inducen una familia de funciones continuas, con propiedades topológicas interesantes, y de esta forma definir una relación de equivalencia entre funcio- nes, para llegar a la definición del grupo Hx; este grupo será utilizado junto con algunas herramientas de topología y de análisis complejo, para mostrar una prueba corta y fácil, del teorema de la curva de Jordan. Además se presentarán las demostraciones de algunos teore- mas clásicos como el teorema fundamental del álgebra y el teorema del punto fijo, utilizando resultados que se obtienen a partir del grupo Hx. El lector debe estar familiarizado con losconocimientos básicos de la topología de un conjunto, debe saber lo que es un grupo abeliano libre, y debe manejar algunos aspectos sobre los números complejos.

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