Licenciatura en Matemáticas
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Browsing Licenciatura en Matemáticas by browse.metadata.advisor "Carrillo Escobar, Julio Cesar"
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Item Estimación numérica de la explosión para un problema parabólico debido a condiciones de frontera no lineales y término no lineal(Universidad Industrial de Santander, 2012) Obregón, Wilson Yamid; Carrillo Escobar, Julio CesarEsta tésis presenta el análisis hecho sobre un problema de evolución no lineal de tipo parabólico, que describe algunos procesos de la teoría de la combustión, dinámica de gases y termodinámica. Este problema parabólico modela procesos relaciona- dos con di. ros, exhib fusión y reacción exponencial, el cual bajo algunas restricciones a ciertos parámete un fenómeno conocido como "blow-up"”. En el capítulo I presentamos ciertos resultados importantes de análisis funcional, necesarios para abordar los métodos que utilizaremos en el análisis del problema propuesto. Tratare- mos así al gunos espacios abstractos (espacios vectoriales, espacios normados, espacios de Banach, espacios de Hilbert, espacios E”, entre otros) donde consideramos, que en algunos de ellos, se encuentra la solución (aproximada) a un problema diferencial especifico, y pos- teriormen e veremos los teoremas de extensión, que serán de gran utilidad porque estos garantizaran la existencia y la unicidad de la solución en algunos de los espacios menciona- dos anteri En el capí de funcior ramienta ormente. ulo II consideramos algunos resultados relacionados con la teoría de optimización tales, y luego presentamos el método de los elementos finitos (FEM) como her- para calcular soluciones aproximadas a problemas planteados en forma de ecua- ciones diferenciales. Abordaremos así la relación existente entre problemas de valores en la frontera y el cálculo variacional, vínculo que será fundamental para establecer la equiva- lencia de soluciones entre estos dos esquemas. Finalmente, en el capítulo III estudiaremos los principios de termodinámica, esquema- tizaremos de manera numérica y semidiscreta el problema propuesto y posteriormente analizaremos las condiciones bajo las cuales ocurre el fenómeno de blow-up para el problema planteado.Item Estimación numérica del tiempo de explosión para un problema parabólico debido a condiciones de frontera no lineales y termino homogéneo(Universidad Industrial de Santander, 2010) Rosso Cerón, Luis Andrés; Carrillo Escobar, Julio CesarEl fenómeno de b-explosión es un fenómeno físico que aparece con frecuencia en varios experimentos particulares. Por ejemplo, cuando se trata de controlar la temperatura de un reactor nuclear deben tenerse en cuenta condiciones iniciales que, en la mayoría de los casos, constituye la temperatura inicial del mismo. Si en determinado caso la temperatura, considerada como una función de dos variables (el tiempo y la posición), aumenta sin cota superior, podría producirse una explosión en un tiempo finito t. Resulta entonces conveniente determinar el valor de dicho tiempo t para el cual ocurre este fenómeno. La ecuación en derivadas parciales que modela este fenómeno es una ecuación diferencial parabólica, y revisar los métodos numéricos convenientes para determinar el valor de t con un buen grado de aproximación constituye el propósito de esta monografía, por tanto, el interés principal consiste en localizar numéricamente el tiempo de explosión de la solución del problema parabólico, UU — Ugo =0, (x,t) € (0,1) x [0,T) us(1,1) =F(u(1,1), tE (0,7) up(0,t) =0, te 0,7) u(z, 0) = oz), r€ (0, 1] en donde T' es una constante positiva y f y H son funciones positivas y suficientemente regulares para garantizar que el problema tiene una única solución.Item Existencia y unicidad de soluciones para un problema de stum-liouville con valores en la frontera(Universidad Industrial de Santander, 2012) Diaz Mejía, Darwin; Carrillo Escobar, Julio CesarConsideremos el problema de valor en la frontera (PVF), (EDO) u+alt)f(u)=0, 0, (1 (CF) cu(T) + du (T) = 92. en donde f es una función que cumple condiciones apropiadas y a, b, c y d son constante dadas. Este problema surge en diferentes áreas de la matemática aplicada y la física, ver [7]. Por ejemplo, cuando a(t) es una constante y b=d=0, el PVF (1) se presenta en conexión con el problema establecer la deflexión vertical u de una varilla elástica con extremos fijos, siendo « la carga axial (constante) que actúa en cada punto de la varilla. En este caso, para valores pequeños de a la solución del PVF es u = 0, a menos que a: corresponda a un valor propio del problema. Cuando la carga axial es aumentada, la varilla se arquea, dando origen a una solución no nula u del problema. Para este caso, Loaiza demuestra en [9] mediante la técnica del punto fijo de Banach, y bajo condiciones apropiadas sobre f, que este problema tiene una única solución. Mediante la misma técnica, nos proponemos estudiar la existencia y unicidad de soluciones del PVF (1). “Universidad Industrial de Santander, Decanatura de ciencias básicas, Escuela de matemáticas.Item Existencia y unicidad de soluciones para un problema de valor inicial parabólico homogéneo con y sin condiciones en la frontera(Universidad Industrial de Santander, 2010) Pérez León, Sergio Andrés; Carrillo Escobar, Julio CesarMuchos problemas físicos surgen, o son propuestos, en el campo de la ingeniería, pero son las matemáticas las encargadas de dar el sustento teórico para tratarlos. Por ejemplo, el problema físico de encontrar la función que determine la temperatura de un cuerpo, en un lugar x y en un tiempo t dado y que solo experimenta flujo de calor en una sola dirección, se resume en encontrar la solución u(=,t) del problema parabólico de valor inicial (EDP) u¿—Ug=0, —o00, (CI) u(x,0)=f(1), -o0, (CI) u(x,0)=f(2), 0O0, en donde f y g son funciones continuas o continuas a trozos conocidas. Aquí se busca analizar bajo que condiciones se tiene la existencia y unicidad de soluciones para éstos problemas, para ello se establecerá inicialmente un Teorema de existencia de soluciones para los dos problemas antes mencionados, donde además, se muestre la manera de construir dichas soluciones, finalmente se enunciará y se demostrará un teorema de Unicidad de soluciones, y se darán a conocer algunos tipos de problemas que pueden tener más de una solución. El planteamiento anterior se desarrollará tal como lo discute Cannon [3]. “Dr. Julio César Carrillo Escobar, DirectorItem Solución de un problema de valor en la frontera mediante funciones de green(Universidad Industrial de Santander, 2010) Rincón Villamizar, Michael Alexander; Carrillo Escobar, Julio CesarConsideremos el problema de valores en la frontera, 0y'(a) + By (0) +ovía) =H(0) sia ela), y(a) = Ya» y(b) = Yb, en donde a, 5, y, Ya Y yy Son constantes dadas y f es una función que podemos suponer continua en el intervalo compacto [a, b]. En esta monografía se presenta una revisión bibliográfica acerca de cómo encontrar las posibles soluciones de este problema mediante las funciones de Green. En los dos primeros capítulos se presentan resultados del análisis funcional para operadores. En el tercer discutimos acerca de los operadores diferenciales y presentamos algunos ejemplos con el fin de ilustrar las ideas que posteriormente utilizamos en el último capítulo. En el cuarto capítulo, se presentan resultados para la solución de ecuaciones integrales. En el último capítulo se ilustra la técnica de la función de Green para la solución de problemas con condiciones en la frontera homogéneas y algunos ejemplos para ilustrar el caso no homogéneo. Es importante mencionar que la técnica de la función de Green, discutida en el Capítulo 5, no funciona con alguna clase de problemas de valor en la frontera. Este tipo de problemas son resueltos mediante la técnica de la función de Green generalizada y su construcción se ilustra mediante un ejemplo. La discusión general de este tema no será considerada aquí. “Dr. Julio César Carrillo Escobar, Director