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Continuos 1/2 homogéneos
(Universidad Industrial de Santander, 2021) Silva Granada, Juan David; Camargo García, Javier Enrique
Un continuo es un espacio métrico, compacto, conexo y diferente de vacío. La idea intuitiva de un continuo homogéneo es la de un espacio en el que todos sus puntos tienenentornos que preservan las mismas características topológicas y su definición formalestablece que un continuo es homogéneo si para cualesquiera dos puntos existe unhomeomorfismo que mapea uno de ellos en el otro. Sin embargo, bajo esta definición,existen espacios para los cuales no es posible escoger de manera arbitraria dos puntospara los cuales exista el homeomorfismo antes mencionado y es allí donde se introducela definición de continuos ¿ homogéneos; particularmente los continuos 3 homogéneos,son aquellos en los cuales se generan 2 órbitas por la acción del grupo de homeomorfismos del espacio en sí mismo, un ejemplo que ilustra esta definición lo podemos tenerde un espacio conocido como lo es el intervalo unitario, ya que en este espacio, sus extremos pertenecen a una única órbita mientras que todo punto interior pertenece a otraórbita diferente. De allí que el intervalo pueda ser escrito como la unión de estas dosórbitas y por ende, ser un continuo 3 homogéneo. Es importante encontrar órbitas enlos diferentes continuos, especialmente en los grafos, esta es una tarea enriquecedoraal momento de clasificarlos como l homogéneos. A partir de esto, es posible obtenerresultados interesantes sobre continuos como el arco, que se puede caracterizar comoel único continuo 3 homogéneo, semilocalmente conexo que tiene más de un punto decorte. También se puede establecer que el continuo conocido como el “Arete Hawaiano”es el único continuo hereditariamente localmente conexo, 3 homogéneo, que no es un grafo y su conjunto de puntos de corte es no vacío.
Continuos de awartani
(Universidad Industrial de Santander, 2021) Araque Alarcón, Edwin Rene; Camargo García, Javier Enrique
Un continuo X se dice encadenable si, para cada ε > 0, existe una ε-función f : X → [0, 1]; esto es, existe f : X → [0, 1] continua y sobreyectiva tal que diam(f −1 ε (t)) < ε, para cada t ∈ [0, 1]. En general, dos continuos se dicen incomparables si no existen funciones continuas y sobreyectivas en ninguna dirección; es decir, X y Y son incomparables si no existe f : X → Y continua y sobreyectiva, ni tampoco g : Y → X continua y sobreyectiva. En 1970, en 1 , el profesor J. Rogers pregunto si era posible construir una familia no numerable de continuos encadenables mutuamente incomparables. Un año más tarde, David Bellamy en su artículo titulado “An uncountable collection of chainable continua,” 2 , construyó dicha familia dando respuesta afirmativa a la pregunta de Rogers. Sin embargo, los continuos de Bellamy son ejemplos complejos, donde cada continuo tiene infinitas arco-componentes. Así, Marwan M. Awartani en el artículo titulado “An Uncountable Collection of Mutually Incomparable Chainable Continua” 3 construye continuos encadenables que dan respuesta a la pregunta de Rogers, cada uno de los cuales es una compactación del intervalo (0, 1] y el residuo es homeomorfo al intervalo cerrado [0, 1]. En este trabajo estudiamos el artículo de Awartani y mostramos con detalle la construcción y las pruebas que muestran que efectivamente esta familia satisface las condiciones para dar respuesta a la pregunta del profesor Rogers. El desarrollo de esta monografía consta de 3 capítulos. Se hace una revisión bibliográfica de los conceptos intrínsecos de los continuos, definimos las relaciones dominar y dominar verticalmente en el espacio de Cantor. Luego demostramos que con respecto a estas relaciones existe una colección no numerable de sucesiones mutuamente incomparables. Finalmente, asociamos cada elemento de dicha colección con una compactación del rayo con el arco como resto y demostramos que no existe un una función continua y sobreyectiva entre cualquier par de tales compactaciones. Con esto completamos el objetivo principal de este trabajo.
El hiperespacio de compactos regulares
(Universidad Industrial de Santander, 2020) Mansell Muñoz, Raymond Alexander; Camargo García, Javier Enrique
Un continuo es un espacio métrico, compacto, conexo y diferente del vacío. Un subconjunto no vacío y cerrado A de un espacio topológico X se denomina cerrado regular si la clausura del interior de A es igual a A. Dado X un continuo, definimos el hiperespacio de subcontinuos regulares D(X), como la familia de todos los subcontinuos cerrado regulares de X. Definimos también un hiperespacio más general, R(X) como la familia de todos los subconjuntos compactos y cerrado regulares de X. En este trabajo estudiaremos la conexidad, compacidad y arcoconexidad de estos dos hiperespacios. También plantearemos algunas preguntas abiertas. El trabajo se encuentra dividido en tres capítulos: En el Capítulo 1 se presentan las principales definiciones y las propiedades más relevantes sobre continuos e hiperespacios, enunciando a su vez algunos de los ejemplos más conocidos. En el Capítulo 2 estudiamos resultados conocidos sobre el hiperespacio D(X). Veremos que no siempre es conexo, y mencionaremos algunas condiciones necesarias y suficientes para su conexidad, además caracterizaremos su compacidad. También veremos algunos ejemplos específicos de D(X) cuando X es algún abanico. Finalmente, en el Capítulo 3 exploraremos el hiperespacio R(X), generalizando algunos resultados previos sobre la conexidad de D(X), y mostraremos que R(X) nunca es compacto. De igual forma se presentan algunos ejemplos específicos de este hiperespacio para ciertos continuos y se plantean algunas otras preguntas abiertas.
El teorema de Hahn-Mazurkiewicz
(Universidad Industrial de Santander, 2021) Cáceres Gómez, Yelsin Leonel; Camargo García, Javier Enrique
Un continuo es un espacio métrico compacto, conexo y no vacío. Un continuo de Peano es un continuo localmente conexo. Dado un espacio métrico X y Y C X, diremos que Y tiene la propiedad S sipara cada e > 0, existen 41,..., A, subconjuntos conexos de Y tales que Y = );_, A; y diám(4;) < epara cada ¡ € (1,....n). Así mismo, diremos que una función F: X > CL(Y) es semicontinua superiormente en xy € X si para cada abierto V de Y, con F(xp) € V, existe un abierto U de X, conxp € U, tal que F(x) € V para cada x € U, donde CL(Y) = (4 C Y | A escerrado y A 4). Eneste trabajo daremos una condición necesaria y suficiente para que un continuo sea un continuo de Peano. También, se mostrarán algunas propiedades con respecto a las multifunciones. En el Capitulo[T] se darán algunos conceptos básicos de topología y las propiedades más relevantessobre la propiedad S que se usarán posteriormente. En el Capítulo[2]veremos un resultado imprescindible que nos ofrece una manera de construir funciones continuas y sobreyectivas (Teorema Generalde Funciones). En el Capítulo[8] usaremos las multifunciones para mostrar que el espacio de Cantores el único compacto métrico, totalmente disconexo y sin puntos aislados. También, probamos quetodo métrico compacto es cociente del espacio de Cantor. Finalmente, En el Capítulo [4] se enunciaEl Teorema de Hahn-Mazurkiewicz, el cual brinda una condición necesaria y suficiente para que un continuo sea un continuo de Peano.
Equicontinuidad en dendritas
(Universidad Industrial de Santander, 2019) Cancino Rey, Johan Camilo; Camargo García, Javier Enrique
Un continuo es un espacio métrico compacto, conexo y no vacío. Una dendrita es un continuo de Peano (localmente conexo) que no contiene curvas cerradas simples. Dada una dendrita X y x ∈ X, se definen los conjuntos omega límite ω(x, f) = {y ∈ X : y es punto límite de la sucesión (f n(x))n∈N} y Ω(x, f) = {y ∈ X : existen sucesiones (xi) ⊆ X y (ni)i∈N ⊆ N con xi → x y f ni (xi) → y}. Asimismo, diremos que una función f : X → X es equicontinua si para todo ε > 0, existe δ > 0 tal que si d(x, y) < δ, entonces d(f n(x), f n(y)) < ε para todo n ∈ N. En este trabajo daremos algunas condiciones necesarias para la continuidad de la función ωf : X → 2 X, definida por ωf (x) = ω(x, f), en el contexto de las dendritas. También, se mostrarán algunas propiedades con respecto a la equicontinuidad en dendritas. En el Capitulo 1, se darán algunos conceptos relacionados con sistemas dinámicos discretos y las propiedades más relevantes sobre las dendritas que se usarán posteriormente. En el Capítulo 2 veremos que, en una dendrita, la continuidad de ωf implica que el conjunto de puntos periódicos, Per(f), sea conexo, que el conjunto de puntos recurrentes, R(f), sea un continuo y que además, R(f) = Per(f); siendo estos los principales resultados de este capítulo. Finalmente, en el Capítulo 3, se enuncian algunos teoremas que dan condiciones necesarias y suficientes para que una función f definida en una dendrita sea equicontinua
Funciones inducidas abiertas entre hiperespacios de continuos
(Universidad Industrial de Santander, 2021) Andrade Duran, Álvaro Javier; Camargo García, Javier Enrique
Los hiperespacios de un continuo es una colección de subconjuntos del continuo bajo algunas condiciones, los hiperespacios que se estudiarán es el hiperespacio C(X), dondeeste contiene todos los subcontinuos del continuo X y el hiperespacio de suspensión denotado por H.S(X). En este trabajo estudiamos algunas clases de funciones definida entre continuos mostrando que las funciones semiabiertas, casi abiertas o cuasi interior sonindependientes entre sí y una que otra implicación importante, para después dar paso alestudio las funciones inducidas entre hiperespacios, donde mostrando que relaciones hayentre estas cuando alguna de estas es abierta, semiabierta, casi abierta o cuasi interior, ydaremos algunas condiciones tal que una función entre continuos es un homeomorfismodado que las funciones inducidas son abiertas. Al final de cada sección se podrá apreciar un resumen de estas implicaciones y cuales quedan como preguntas aún por resolver.Mostraremos que existe una función entre continuos que no es semiabierta tal que su función inducida C(f) si es semiabierta, con este ejemplo se contradice la demostración delos profesores Xianjiu, Fapping y Gengrong en su artículo “Semi-openness and almostopenness of induced mapping” no es correcto. Además, con el ejemplo que construimos, damos respuesta negativa a una pregunta planteada en el mismo artículo.
Hiperespacio de sucesiones convergentes
(Universidad Industrial de Santander, 2022-11-14) Mayorga Carreño, Daimon Santiago; Camargo García, Javier Enrique; Uzcátegui Aylwin, Carlos Enrique; Rodriguez Cardenas, Carlos Wilson
Para este trabajo realizamos un estudio del hiperespacio de sucesiones convergentes sobre espacios específicos, como lo son los espacios métricos sin puntos aislados, esto para simplificar las pruebas realizadas. Este hiperespacio fue definido en (Garcia-Ferreira y Ortiz-Castillo, 2015 ) y estudiado más adelante en (Garcia-Ferreira y Rojas Hernandez, 2017). Vemos algunas características generales y mostramos tres propiedades principales, las cuales son muy investigadas en el estudio de los hiperespacios. Además realizamos algunas demostraciones que en estos artículos no aparecían o se seguían de ideas planteadas.
La densidad de los puntos periódicos de una función f y su función inducida 2f
(Universidad Industrial de Santander, 2018) Delgado Perez, Jorge Nelson; Camargo García, Javier Enrique
Un sistema din´amico es una pareja (X, f), donde X es un espacio m´etrico compacto y f : X → X es una funci´on continua. Todo sistema din´amico induce un nuevo sistema din´amico, conocido como sistema din´amico inducido (2X, 2 f ), donde 2X es el hiperespacio asociado a X y 2f : 2X → 2 X es una funci´on continua que env´ıa compactos en compactos de la siguiente manera. Sea A ∈ 2 X, entonces 2f (A) = f(A). Dado un sistema din´amico (X, f), P er(f) es el conjunto de todos los puntos peri´odicos de X bajo f, es decir, para un x ∈ P er(f) existe un k ∈ N, tal que, k es el menor entero que cumple que f k (x) = x, donde f k quiere decir f compuesta k − veces consigo misma. Dado un sistema din´amico (X, f), si el conjunto P er(f) es denso en X, el sistema din´amico inducido (2X, 2 f ), tambi´en tendr´a dicha propiedad, esto quiere decir que P er(2f ) = 2X, este se conoce como el teorema de Banks el cual se analizar´a en este estudio. El rec´ıproco del teorema de Banks no es cierto en todos los casos, por lo tanto el objetivo de este trabajo es analizar detalladamente varios ejemplos de sistemas din´amicos donde la densidad de P er(2f ) no implica la densidad de P er(f), es decir sistemas din´amicos (X, f) que no tienen el conjunto P er(f) denso, pero que el sistema din´amico inducido (2X, 2 f ) si tiene dicha propiedad.
La función t de jones: propiedades y aplicaciones
(Universidad Industrial de Santander, 2015) Castellanos Calderón, Ruben Alveiro; Camargo García, Javier Enrique
Un continuo es un espacio métrico compacto, conexo y no vacío. La Teoría de continuos es la rama de la topología que estudia los espacios métricos compactos y conexos; espacios llamados continuos. A finales de los años 30, el profesor Burton Jones define la función T : P(X) → P(X) como el subconjunto de X tal que: X \ T (A) = {x ∈ X : existe un subcontinuo K de X tal que x ∈ K◦ y K ∩ A = ∅}, para cada A ∈ P(X). Esta función se le llama función T de Jones. Este trabajo muestra el comportamiento de la función T en clases de continuos, caracterizando algunos de ellos. Además, se muestran propiedades de la función T como la T -simetría y T -aditividad, las cuales se presentan de manera natural siempre que tenemos un operador con las características de la función T de Jones. Consideramos importante resaltar que se presentan demostraciones alternativas de resultados clásicos de Teoría de continuos usando la función T . De esta forma planteamos la función T como una herramienta para abordar problemas en topología, particularmente en Teoría de continuos.
La métrica: Génesis de la topología de vecindades
(Universidad Industrial de Santander, 2024-03-12) Ortiz, Álvaro; Camargo García, Javier Enrique; Uzcátegui Aylwin, Carlos Enrique; Pérez León, Sergio Andrés
En 1906, en su tesis doctoral, Fréchet introduce la noción abstracta de Espacio métrico. Esta definición estaba enfocada al estudio de convergencia y resulta un tanto imprecisa en términos de la matemática actual. Es por esto que la noción de espacio métrico como la conocemos hoy en día es atribuida a F. Hausdorff. En 1914, Hausdorff presenta la definición de espacio métrico con las ideas de los trabajos de Hilbert y Weyl, que a su vez da origen al concepto de “entorno”; objeto fundamental de la Topología general. Es por esto que personalidades como Bourbaki en su libro Topología general afirma: “con Hausdorff comienza la topología general como se la entiende actualmente.”(En [1], página 126 se lee: “Avec Hausdorff commence la topologie genérale telle qu’on l’entend aujourd’hui”.) La convergencia en espacios métricos es fundamental en el desarrollo del análisis. Además, la métrica determina el nivel de diferencia o lejanía entre objetos. Es por esto que el estudio de los espacios métricos es de gran importancia y determina una manera de estudiar la topología del espacio. En cursos básicos de topología general se estudia como la métrica induce naturalmente una colección de abiertos llamada topología, y que, distintas métricas pueden generar la misma topología teniendo propiedades diferentes en el contexto de los espacios métricos. Solo por dar un ejemplo las expresiones |x−y| y |x−y|1+|x−y| definen métricas que generan la misma topología en R, pero a diferencia de la primera, la segunda únicamente toma valores entre 0 y 1, esto es, es una métrica acotada. En nuestro trabajo investigaremos diferentes tipos de métricas que podemos definir sobre un conjunto. Haremos diferencias entre estas métricas tanto desde el punto de vista topológico, como en el contexto propio de los espacios métricos. Una propiedad “propia de los espacios métricos” es una propiedad que podría dañarse si cambiamos la métrica, sin alterar la topología. En este trabajo planteamos el problema de encontrar propiedades propias de la métrica, y esperamos que el lector se interese por el tema y pueda investigar nuevas propiedades y tal vez, sea un punto de partida para futuras investigaciones. Esta tesis la dividimos en dos capítulos: en el primer capítulo introducimos la definición de métrica, damos varios ejemplos, comparamos sus topologías y estudiamos algunas propiedades; en el segundo y último capítulo, estudiamos el Teorema de Heine-Borel y abordamos la noción de espacio métrico completo, estudiamos algunas propiedades de esta importante clase de espacios métricos y finalmente, presentamos las funciones uniformemente continuas, planteando algunas preguntas entorno a la influencia de la métrica en las funciones continuas.
Los hiperespacios de subcontinuos regulares y subcontinuos magros
(Universidad Industrial de Santander, 2023-03-06) Ramírez Angarita, Diego Alexánder; Camargo García, Javier Enrique; Uzcátegui Aylwin, Carlos Enrique; Rincón Villamizar, Michael Alexánder
Un continuo es un espacio métrico compacto, conexo y no vacío. Un subcontinuo es un continuo contenido en algún espacio métrico. La colección de todos los subcontinuos de un continuo X dotada de la métrica de Hausdorff, se denota C(X). Un subcontinuo A de un continuo X se dice que es magro si Int(A)= ∅; y es llamado regular si Cl(Int(A))=A. Recientemente, el profesor Norberto Ordóñez en los artículos "The hyperspace of regular subcontinua", de 2018, y "The hyperspace of meager subcontinua", de 2020, definió y estudió los hiperespacios D(X) y M(X), formados por los subcontinuos regulares de X y los subcontinuos magros de X, respectivamenre. En este trabajo presentamos algunos resultados obtenidos por Ordóñez acerca de la compacidad, conexidad y densidad de estos hiperespacios. También se encuentran resultados originales que amplían el conocimiento de propiedades topológicas de D(X) y M(X). Obtenemos la complejidad boreliana de D(X) verificando que es un conjunto Π⁰₃ de C(X). Mostramos que el hiperespacio D(X) nunca es infinito discreto. Y damos un ejemplo de un continuo no contráctil tal que su hiperespacio de M(X) es contráctil, respondiendo negativamente a una pregunta planteada por el profesor Ordóñez.
Propiedades dinámicas en espacios métricos compactos
(Universidad Industrial de Santander, 2024-05-06) Ferreira Delgado, Winston Deian Andrey; Camargo García, Javier Enrique; Perez León, Sergio Andres; Julio Batalla, Jurgen Alfredo
Un sistema dinámico discreto es una pareja (X,f), donde X es un espacio métrico y f: X -> X una función continua. Los sistemas dinámicos discretos pueden ser simples o complejos, y pueden exhibir una amplia variedad de comportamientos, incluyendo: ciclos periódicos, sensibilidad, transitividad o diferentes nociones de caos. Siendo este último en el cual nos enfocaremos en este trabajo.
Unicoherencia débil en continuos
(Universidad Industrial de Santander, 2016) Ardila Rueda, Fredy Giovanny; Camargo García, Javier Enrique
Nuestro trabajo se basa en el estudio de espacios continuos. Un continuo es un espacio métrico, compacto, conexo y diferente del vacío. El estudio de estos espacios, se concentra en identificar propiedades importantes en ellos, como es el caso de la unicoherencia en continuos. Un continuo es unicoherente, si al verlo como la unión de dos subcontinuos, se tiene que la intersección de los dos subcontinuos es conexa. Un continuo es débilmente unicoherente, si al verlo como la unión de dos subcontinuos tales que la intersección de los dos subcontinuos tiene interior diferente de vacío, se tiene que la intersección de los dos subcontinuos es conexa. Un arco es un continuo débilmente unicoherente, mientras que una curva cerrada simple no lo es.
Unicoherencia en continuos
(Universidad Industrial de Santander, 2014) Nova González, Jayson Heli; Camargo García, Javier Enrique
Un continuo es un espacio métrico, compacto, conexo y diferente del vacío. Un continuo se dice unicoherente si siempre que donde y son subcontinuos de , entonces es conexo. Un intervalo cerrado, una -celda [ ] y las esferas son ejemplos de continuos unicoherentes. Por otro lado, el continuo no es unicoherente. Además, un continuo se dice herereditariamente unicoherente si cada uno de sus subcontinuos es unicoherente. Esta monografía está enfocada a estudiar la unicoherencia en continuos, también aspectos particulares como: preservar la unicoherencia por funciones continuas, límites inversos y productos. Y caracterizar los continuos unicoherentes y localmente conexos. Esta monografía está dividida en tres capítulos distribuidos de la siguiente manera: En el primer capítulo, se dan herramientas para construir continuos; las intersecciones anidadas de continuos, el producto de continuos y el límite inverso de una sucesión inversa de continuos. También, se darán definiciones como continuos indescomponible y algunos tipos de funciones continuas entre continuos. En el segundo capítulo, se da definición y ejemplos de continuos unicoherentes y hereditariamente unicoherentes, además, veremos que el producto de dos continuos unicoherentes no es necesariamente unicoherente. En el tercer capítulo, presentamos la definición de función inesencial y función con logaritmo continuo, se estudiaran algunas propiedades de estas clases de funciones. Después, mostramos la relación que hay entre la unicoherencia, las funciones inesenciales y las funciones con logaritmo continuo, en continuos localmente conexos. Para terminar, estudiamos la unicoherencia en continuos localmente conexos.

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