Matemáticas
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Browsing Matemáticas by browse.metadata.evaluator "Pérez León, Sergio Andrés"
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Item Espacios Homogéneos Numerables(Universidad Industrial de Santander, 2023-08-14) Neira Díaz, Julián Enrique; Uzcátegui Aylwin, Carlos Enrique; Pérez León, Sergio Andrés; Paternina Salguedo, Ronald EduardoEs sabido que todo grupo topológico es un espacio homogéneo, pero existen espacios homogéneos que no admiten una estructura de grupo topológico, por ejemplo, el cubo de Hilbert. Por esto, estudiaremos los espacios con topologías ∗-invariantes, que son una versión débil de los grupos topológicos, basándonos en el trabajo de van Douwen. Probaremos que si (X,τ) es numerable, regular y homogéneo y (G,∗) es un grupo numerable, entonces existe una topología ∗-invariante ρ sobre G tal que (X,τ)≈(G,ρ). Con esto demostraremos que τ es ∗-invariante para alguna operación de grupo ∗ sobre X. En el primer capítulo, recordaremos algunos conceptos y resultados clásicos de la topología centrándonos en el estudio de los espacios numerables. En el siguiente capítulo, daremos el concepto de espacio homogéneo y mostraremos una caracterización esencial que relaciona el grupo de autohomeomorfismos H(X) con la existencia de una topología ∗-invariante ρ sobre un grupo (G,∗) tal que (G,ρ)≈X. Gracias a esta equivalencia, nuestro trabajo se reduce a construir homeomorfismos a partir de una versión verdadera del axioma de Martin. Por último, mostramos el espacio Sω y la topología +-invariante ρ sobre Z para la cual (Z,ρ)≈Sω.Item Extensiones de espacios topológicos compactos T1(Universidad Industrial de Santander, 2024-02-01) Amorocho Morales, Jeison Leonardo; Uzcátegui Aylwin, Carlos Enrique; Pérez León, Sergio Andrés; Rodriguez Palma, Carlos ArturoUn espacio topológico X es denominado CTS si X es compacto, T1 y segundo numerable. En este trabajo nos enfocamos en estudiar resultados acerca de las extensiones polacas de estos espacios CTS. En específico, que todo espacio CTS admite una extension polaca que preserva Borelianos, mostrando así que la σ-algebra de Borel de los espacios CTS es estándar, es decir, isomorfa a la σ-algebra de Borel de un espacio polaco. En esta tesis estudiamos ademas una caracterización de cuando un espacio CTS es Baire, y definiendo lo que es una contraccion topológica se estudió un resultado análogo al teorema de punto de fijo de Banach en espacios compactos T1.Item La métrica: Génesis de la topología de vecindades(Universidad Industrial de Santander, 2024-03-12) Ortiz, Álvaro; Camargo García, Javier Enrique; Uzcátegui Aylwin, Carlos Enrique; Pérez León, Sergio AndrésEn 1906, en su tesis doctoral, Fréchet introduce la noción abstracta de Espacio métrico. Esta definición estaba enfocada al estudio de convergencia y resulta un tanto imprecisa en términos de la matemática actual. Es por esto que la noción de espacio métrico como la conocemos hoy en día es atribuida a F. Hausdorff. En 1914, Hausdorff presenta la definición de espacio métrico con las ideas de los trabajos de Hilbert y Weyl, que a su vez da origen al concepto de “entorno”; objeto fundamental de la Topología general. Es por esto que personalidades como Bourbaki en su libro Topología general afirma: “con Hausdorff comienza la topología general como se la entiende actualmente.”(En [1], página 126 se lee: “Avec Hausdorff commence la topologie genérale telle qu’on l’entend aujourd’hui”.) La convergencia en espacios métricos es fundamental en el desarrollo del análisis. Además, la métrica determina el nivel de diferencia o lejanía entre objetos. Es por esto que el estudio de los espacios métricos es de gran importancia y determina una manera de estudiar la topología del espacio. En cursos básicos de topología general se estudia como la métrica induce naturalmente una colección de abiertos llamada topología, y que, distintas métricas pueden generar la misma topología teniendo propiedades diferentes en el contexto de los espacios métricos. Solo por dar un ejemplo las expresiones |x−y| y |x−y|1+|x−y| definen métricas que generan la misma topología en R, pero a diferencia de la primera, la segunda únicamente toma valores entre 0 y 1, esto es, es una métrica acotada. En nuestro trabajo investigaremos diferentes tipos de métricas que podemos definir sobre un conjunto. Haremos diferencias entre estas métricas tanto desde el punto de vista topológico, como en el contexto propio de los espacios métricos. Una propiedad “propia de los espacios métricos” es una propiedad que podría dañarse si cambiamos la métrica, sin alterar la topología. En este trabajo planteamos el problema de encontrar propiedades propias de la métrica, y esperamos que el lector se interese por el tema y pueda investigar nuevas propiedades y tal vez, sea un punto de partida para futuras investigaciones. Esta tesis la dividimos en dos capítulos: en el primer capítulo introducimos la definición de métrica, damos varios ejemplos, comparamos sus topologías y estudiamos algunas propiedades; en el segundo y último capítulo, estudiamos el Teorema de Heine-Borel y abordamos la noción de espacio métrico completo, estudiamos algunas propiedades de esta importante clase de espacios métricos y finalmente, presentamos las funciones uniformemente continuas, planteando algunas preguntas entorno a la influencia de la métrica en las funciones continuas.