Matemáticas
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Browsing Matemáticas by browse.metadata.evaluator "Pinedo Tapia, Héctor Edonis"
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Item Intercambio Diffie Hellman usando isogenias supersingulares(Universidad Industrial de Santander, 2023-03-10) Mantilla Sanabria, Luis Mantilla; Olaya León, Wilson; Baena Giraldo, John Bayron; Granados Pinzón, Claudia Inés; Pinedo Tapia, Héctor EdonisEn la actualidad nuestra información es salvaguardada por protocolos criptográficos, algunos de los más usados son RSA y Diffie-Hellman sobre curvas elípticas, los cuales buscan un intercambio de llaves de manera segura. Sin embargo estos protocolos ya están amenazados por un algoritmo cuántico, este algoritmo diseñado por Peter Shor garantiza romper protocolos criptográficos como los antes mencionados, siempre y cuando se tenga un computador cuántico “potente”, esto no sería un problema si no fuera porque grandes empresas como IBM invierten grandes cantidades de dinero en crear un computador cuántico “potente” y, peor aun, avanzan satisfactoriamente. Es por esto que se crea la rama de la criptografía llamada criptografía postcuántica, la cual busca crear protocolos criptográficos capaces de soportar el ataque de un computador cuántico y que puedan ser implementados en computadores convencionales. Uno de los primeros protocolos diseñados para un intercambio de llaves de manera segura ante el ataque de un computador cuántico es SIDH (Supersingular Isogeny Diffie-Hellman). Este trabajo se presentan los fundamentos matemáticos del protocolo SIDH, comenzando por definir una curva elíptica y desarrollando la teoría necesaria de las isogenias, luego se presentarán los grafos finitos para ilustrar mejor la aplicación de SIDH y finalmente mostrar la estructura matemática del protocolo SIDH. También mostramos como implementarlo en el lenguaje de programación SageMath.Item Involuciones y anillos de grupo clean(Universidad Industrial de Santander, 2022-09-08) Sarmiento Ojeda, Cristian Alexander; Holguín Villa, Alexander; Pinedo Tapia, Héctor Edonis; Olaya León, WilsonUn anillo es llamado clean si cada uno de sus elementos puede ser escrito como la suma de una unidad y un idempotente. Entre los anillos con involución y la propiedad clean existe una conexión que permite obtener una generalización de esta propiedad, conocida como propiedad ∗-clean. Un anillo con involución ∗ es llamado ∗-clean si cada uno de sus elementos puede ser escrito como la suma de una unidad y una proyección. El trabajo consta de tres capítulos. En el primero se abarcan los conceptos necesarios para el desarrollo del tema. En el segundo capítulo, se introduce la propiedad clean tanto en anillos como en anillos de grupo y se presentan algunas de sus propiedades. En el tercer y último capítulo se presentan condi- ciones necesarias y suficientes para que el anillo de grupo RG sea ∗-clean, donde R es un anillo local conmutativo, G es uno de los grupos C3, C4, S3 o Q8 y ∗ es la involución clásica en RG, es decir, la extención R lineal de ∗ : G → G, g → g−1 para todo g ∈ G.Item La Topología de Green de un semigrupo(Universidad Industrial de Santander, 2022-09-07) Delgado Morales, Yesli Natali; Uzcátegui Aylwin, Carlos Enrique; Camargo García, Javier Enrique; Pinedo Tapia, Héctor EdonisA todo conjunto ordenado le corresponde una estructura topológica que resulta ser una topología de Alexandroff. En todo semigrupo se define un cuasi-orden (llamado cuasi-orden izquierdo de Green), y en consecuencia se obtiene una topología de Alexandroff llamada la topología de Green del semigrupo. En esta presentación, mostraremos algunas características de estas topologías sobre conjuntos finitos. Nos basamos en un trabajo de B. Richmond donde se presenta una clasificación de todas las topologías sobre un conjunto de a lo sumo cinco puntos que provienen de una estructura de semigrupo. En particular, mostró que no toda topología de Alexandroff sobre un conjunto X dado proviene de una estructura de semigrupo sobre X por el cuasi-orden izquierdo de Green.