Matemáticas
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Browsing Matemáticas by browse.metadata.evaluator "Holguín Villa, Alexander"
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Item Aplicación del método "back and forth" de teoría de modelos a órdenes lineales y al grafo universal(Universidad Industrial de Santander, 2022-04-01) Barajas Rincón, Rosa Ximena; Isaacs Giraldo, Rafael Fernando; Holguín Villa, Alexander; Uzcátegui Aylwin, Carlos EnriqueDadas dos estructuras relaciones $(A,R)$ y $(B,S)$, isomorfas, el método \textit{"back and forth"}, de la teoría de modelos, nos permite construir una colección de isomorfismos parciales entre las dos estructuras, de tal manera que la unión de todos los isomorfismos de esa colección nos genera un ismorfismo total entre dichas estructuras. El método consiste en tomar subconjuntos finitos. $U_i \subseteq A$ y $V_i \subseteq V$, $i \in \mathbb{N}$, y crear correspondecias $f_i$, isomorfas entre $U_i$ y $V_i$, es decir, funciones biyectivas que además preserven orden, esto es, $x_i \preceq y_i \Leftrightarrow f(x_i) \preceq f(y_i)$. Iniciaremos presentando los conceptos y propiedades más relevantes sobre estructuras relacionales y órdenes en general, como el concepto de isomorfismo, que será ensencial al estudiar algunos resultados y propiedades entre órdenes lineales y grafos aleatorios no dirigidos. Luego, presentaremos la noción de lo que es la clase de los tipos de orden, las respectivas caracterizaciones de $\mathbb{N}$, $\mathbb{Z}$ y $\mathbb{Q}$, en que consiste el método \textit{"back and forth"} y su aplicación a los teoremas de Cantor; se mostrará por ejemplo que cualesquier dos órdenes lineales densos contables sin primeros ni últimos elementos son isomorfos haciendo uso del \textit{"back and forth"}, y para finalizar presentaremos el concepto de grafos aleatorios no dirigidos junto con la propiedad de extensión, muy crucial en esta parte, y el maravilloso grafo universal $\mathfrak{R}$; aquí describimos construcciones de $\mathfrak{R}$ y mostramos que cualesquier dos grafos contables infinitos no dirigidos son isomorfos, haciendo uso del \textit{"back and forth"}.Item Códigos cíclicos LRC-LCD(Universidad Industrial de Santander, 2023-11-08) Rodríguez Cáceres, Yiseth Karina; Olaya León, Wilson; Bueno Carreño, Diana Haidive; Rodríguez Palma, Carlos Arturo; Holguín Villa, AlexanderEn el contexto actual, donde la teoría de la información y los medios digitales están en constante evolución, se enfrentan desafíos cruciales, como garantizar la integridad y confidencialidad de los datos sensibles, así como gestionar eficientemente grandes volúmenes de información. La aplicación de códigos correctores de errores emerge como una herramienta esencial para abordar estos desafíos. Este trabajo se enfoca en los códigos cíclicos localmente recuperables (LRC) y códigos cíclicos duales complementarios (LCD), presentando una combinación estratégica de ambos. Estos códigos no solo corrigen errores en la transmisión de datos, sino que también desempeñan un papel crucial en la protección de datos sensibles, utilizando técnicas como el enmascaramiento de datos. Además, se exploran aplicaciones prácticas en almacenamiento distribuido y se destaca la implementación en SageMath para la construcción y análisis de propiedades específicas de los códigos lineales. En específico, esta investigación se centra en códigos cíclicos que posean propiedades tanto de ser códigos lineales localmente recuperables (LRC) como códigos lineales duales complementarios (LCD).Item s-Familias profundas de Erdos(Universidad Industrial de Santander, 2024-08-26) Mauricio Jafet Santos Camargo; Rodríguez Palma, Carlos Arturo; Pinedo Tapia, Hector Edonis; Holguín Villa, AlexanderDado un subconjunto C de Zn, se define ∆C como el multiconjunto de distancias entre elementos no iguales de C. Tomando como inspiración el problema del plano de Erdos, diremos que C es un conjunto profundo de Erdos en Zn, si para cada i ∈ {1, 2, . . . , k}, con k = |C|, existe una única distancia, entre elementos de C, tal que su multiplicidad (cantidad de veces que se repite cada distancia en ∆C) es i. El presente trabajo; en primer lugar, presenta un estudio y reformulación de los trabajos previamente realizados sobre la caracterización de todo conjunto profundo de Erdos en Zn. Además, se establecen dos resultados que evidencian una forma de contar dichos conjuntos dependiendo de su tamaño y de Zn. En segunda instancia, se establece el concepto de s−familia profunda de Erd˝os en Zn y se estudian los resultados afines a este nuevo concepto, finalizando con una conjetura sobre la clasificación de las 2−familias profundas de Erdos en Zn.Item Sobre la estructura de los cuerpos finitos(Universidad Industrial de Santander, 2023-03-10) Pérez Niño, Natalia Isabel; Pinedo Tapia, Héctor Edonis; Olaya León, Wilson; Holguín Villa, AlexanderEn las últimas décadas, la teoría de los cuerpos finitos ha sido de gran interés por sus aplicaciones a la teoría de códigos y criptografía. Los enteros módulo $p$, siendo $p$ un primo, son los primeros ejemplos de cuerpos finitos que surgen cuya teoría fue en gran parte desarrollada en los siglos XVII y XVIII. En general, los cuerpos finitos poseen diversas propiedades algebraicas que los hace un objeto de estudio de gran importancia. Este trabajo consiste en un estudio teórico de las propiedades estructurales de los cuerpos finitos y su aplicación a la teoría de códigos. En el primer capítulo, recordaremos algunos conceptos y resultados del álgebra abstracta que usaremos a lo largo del desarrollo del escrito. En el capítulo siguiente presentaremos algunas propiedades que caracterizan a los cuerpos finitos, entre ellas su cardinalidad, la estructura cíclica de su grupo multiplicativo y la relación entre sus subcuerpos. Estudiaremos el comportamiento de los polinomios irreducibles sobre dichos cuerpos y caracterizaremos las transformaciones lineales y bases de los cuerpos finitos vistos como un espacio vectorial sobre algún subcuerpo. Para finalizar, en el último capítulo explicaremos en detalle como construir códigos cíclicos minimales de longitud $n$ sobre cuerpos finitos usando idempotentes en álgebras de grupo, tomando como referencia el trabajo de Raul Ferraz y César Polcino.Item Teorema 90 de Hilbert(Universidad Industrial de Santander, 2023-03-05) Barraza Medina, Andrés Luciano; Pinedo Tapia, Héctor Edonis; Holguín Villa, Alexander; Rodríguez Palma, Carlos ArturoEn este trabajo, abordamos el Teorema 90 de Hilbert empezando con los elementos básicos necesarios para definir este resultado. Posterior a esto, veremos algunas aplicaciones interesantes del Teorema 90 de Hilbert en la solución de problemas matemáticos. Problemas que involucran desde triplas pitagóricas hasta condiciones para la irreducibilidad de polinomios. Por último, mostraremos una generalización de la solución para una ecuación de Pell.